Informationstheorie/Differentielle Entropie

1. Informationstheorie
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# ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL #

Im letzten Kapitel dieses Buches werden die bisher für den wertdiskreten Fall definierten informationstheoretischen Größen derart adaptiert, dass sie auch auf wertkontinuierliche Zufallsgrößen angewandt werden können.

• Aus der Entropie  $H(X)$  für die wertdiskrete Zufallsgröße  $X$  wird so zum Beispiel im wertkontinuierlichen Fall die  »differentielle Entropie«  $h(X)$.
• Während  $H(X)$  die  »Unsicherheit«  hinsichtlich der diskreten Zufallsgröße  $X$  angibt, kann man im kontinuierlichen Fall  $h(X)$  nicht in gleicher Weise interpretieren.

Viele der im dritten Kapitel  »Information zwischen zwei wertdiskreten Zufallsgrößen«   ⇒   siehe  Inhaltsverzeichnis  für die herkömmliche Entropie hergeleiteten Zusammenhänge gelten auch für die differentielle Entropie.  So kann auch für wertkontinuierliche Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$  die differentielle Verbundentropie  $h(XY)$  angegeben werden und ebenso die beiden bedingten differentiellen Entropien  $h(Y|X)$  und  $h(X|Y)$.

Im Einzelnen werden in diesem Hauptkapitel behandelt:

• die  »Besonderheiten wertkontinuierlicher Zufallsgrößen«,
• die Definition und Berechnung der  »differentiellen Entropie«  sowie deren Eigenschaften,
• die  »Transinformation«  zwischen zwei wertkontinuierlichen Zufallsgrößen,
• die  »Kapazität des AWGN–Kanals«  und mehrerer solcher paralleler Gaußkanäle,
• das  »Kanalcodierungstheorem«, eines der „Highlights” der Shannonschen Informationstheorie,
• die  »AWGN–Kanalkapazität für wertdiskrete Eingangssinale«  (BPSK, QPSK).

Eigenschaften wertkontinuierlicher Zufallsgrößen

Bisher wurden stets  wertdiskrete Zufallsgrößen  der Form  $X = \{x_1,\ x_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , x_μ, \text{...} ,\ x_M\}$  betrachtet, die aus informationstheoretischer Sicht vollständig durch ihre  Wahrscheinlichkeitsfunktion  (englisch:  "Probability Mass Function", PMF)  $P_X(X)$  charakterisiert werden:

$$P_X(X) = \big [ \hspace{0.1cm} p_1, p_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.15cm}, p_{\mu},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.15cm}, p_M \hspace{0.1cm}\big ] \hspace{0.3cm}{\rm mit} \hspace{0.3cm} p_{\mu}= P_X(x_{\mu})= {\rm Pr}( X = x_{\mu}) \hspace{0.05cm}.$$

Eine  wertkontinuierliche Zufallsgröße  kann dagegen – zumindest in endlichen Intervallen – jeden beliebigen Wert annehmen:

• Aufgrund des nicht abzählbaren Wertevorrats ist in diesem Fall die Beschreibung durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion nicht möglich oder zumindest nicht sinnvoll:
• Es ergäbe sich nämlich der Symbolumfang  $M \to ∞$  sowie die Wahrscheinlichkeiten  $p_1 \to 0$,  $p_2 \to 0$,  usw.

Man verwendet zur Beschreibung wertkontinuierlicher Zufallsgrößen gemäß den Definitionen im Buch  Stochastische Signaltheorie  gleichermaßen:

WDF und VTF einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße

• die  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  (WDF,  englisch:  "Probability Density Function", PDF):

$$f_X(x_0)= \lim_{{\rm \Delta} x\to \rm 0}\frac{p_{{\rm \Delta} x}}{{\rm \Delta} x} = \lim_{{\rm \Delta} x\to \rm 0}\frac{{\rm Pr} \{ x_0- {\rm \Delta} x/\rm 2 \le \it X \le x_{\rm 0} +{\rm \Delta} x/\rm 2\}}{{\rm \Delta} x};$$

In Worten:   Der WDF–Wert bei  $x_0$  gibt die Wahrscheinlichkeit  $p_{Δx}$  an, dass  $X$  in einem (unendlich kleinen) Intervall der Breite  $Δx$  um  $x_0$  liegt, dividiert durch  $Δx$;   (beachten Sie die Einträge in nebenstehender Grafik);

• den  Mittelwert  (Moment erster Ordnung,  englisch:  "Mean Value"  bzw.  "Expected Value"):

$$m_1 = {\rm E}\big[ X \big]= \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.1cm} x \cdot f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm};$$

• die  Varianz  (Zentralmoment zweiter Ordnung,  englisch:  "Variance"):

$$\sigma^2 = {\rm E}\big[(X- m_1 )^2 \big]= \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.1cm} (x- m_1 )^2 \cdot f_X(x- m_1 ) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm};$$

• die  Verteilungsfunktion  (VTF,  englisch:  "Cumulative Distribution Function", CDF):

$$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} \hspace{-0.1cm}f_X(\xi) \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X \le x)\hspace{0.05cm}.$$

Beachten Sie, dass sowohl die WDF–Fläche als auch der VTF–Endwert stets gleich  $1$  sind.

$\text{Nomenklaturhinweise zu WDF und VTF:}$

Wir verwenden in diesem Kapitel für eine  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$  die in der Literatur häufig verwendete Darstellungsform  $f_X(x)$, wobei gilt:

• $X$  bezeichnet die (wertdiskrete oder wertkontinuierliche) Zufallsgröße,
• $x$  ist eine mögliche Realisierung von  $X$   ⇒   $x ∈ X$.

Entsprechend bezeichnen wir die  Verteilungsfunktion  $\rm (VTF)$  der Zufallsgröße $X$ mit  $F_X(x)$  entsprechend folgender Definition:

$$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} \hspace{-0.1cm}f_X(\xi) \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X \le x)\hspace{0.05cm}.$$

In anderen  $\rm LNTwww$–Büchern schreiben wir oft, um nicht für eine Variable zwei Zeichen zu verbrauchen:

• Für die WDF  $f_x(x)$   ⇒   keine Unterscheidung zwischen Zufallsgröße und Realisiering,  und
• für die VTF  $F_x(r) = {\rm Pr}(x ≤ r)$   ⇒   hier benötigt man auf jeden Fall eine zweite Variable.

Wir bitten, diese formale Ungenauigkeit zu entschuldigen.

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten nun mit der Gleichverteilung einen wichtigen Sonderfall.

Zwei Analogsignale als Beispiele für wertkontinuierliche Zufallsgrößen

• Die Grafik zeigt den Verlauf zweier gleichverteilter Größen, die alle Werte zwischen  $1$  und  $5$  $($Mittelwert  $m_1 = 3)$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann.
• Links ist das Ergebnis eines Zufallsprozesses dargestellt, rechts ein deterministisches Signal  („Sägezahn”)  mit gleicher Amplitudenverteilung.

WDF und VTF einer gleichverteilten Zufallsgröße

Die  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  der Gleichverteilung hat den in der zweiten Grafik oben skizzierten Verlauf:

$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm}(x_{\rm max} - x_{\rm min})^{-1} \\ 1/2 \cdot (x_{\rm max} - x_{\rm min})^{-1} \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{20}c} {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \\ {\rm{f\ddot{u}r} } \\ \end{array} \begin{array}{*{20}l} {x_{\rm min} < x < x_{\rm max},} \\ x ={x_{\rm min} \hspace{0.1cm}{\rm und}\hspace{0.1cm}x = x_{\rm max},} \\ x > x_{\rm max}. \\ \end{array}$$

Es ergeben sich hier für den Mittelwert  $m_1 ={\rm E}\big[X\big]$  und die Varianz  $σ^2={\rm E}\big[(X – m_1)^2\big]$  folgende Gleichungen:

$$m_1 = \frac{x_{\rm max} + x_{\rm min} }{2}\hspace{0.05cm}, $$

$$\sigma^2 = \frac{(x_{\rm max} - x_{\rm min})^2}{12}\hspace{0.05cm}.$$

Unten dargestellt ist die  Verteilungsfunktion  (VTF):

$$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} \hspace{-0.1cm}f_X(\xi) \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(X \le x)\hspace{0.05cm}.$$

• Diese ist für  $x ≤ x_{\rm min}$ identisch Null, steigt danach linear an und erreicht bei  $x = x_{\rm max}$  den VTF–Endwert  $1$.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallgröße  $X$  einen Wert zwischen  $3$  und  $4$  annimmt, kann sowohl aus der WDF als auch aus der VTF ermittelt werden:

$${\rm Pr}(3 \le X \le 4) = \int_{3}^{4} \hspace{-0.1cm}f_X(\xi) \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi = 0.25\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Pr}(3 \le X \le 4) = F_X(4) - F_X(3) = 0.25\hspace{0.05cm}.$$

Weiterhin ist zu beachten:

• Das Ergebnis  $X = 0$  ist bei dieser Zufallsgröße ausgeschlossen   ⇒   ${\rm Pr}(X = 0) = 0$.
• Das Ergebnis  $X = 4$  ist dagegen durchaus möglich.  Trotzdem gilt auch hier  ${\rm Pr}(X = 4) = 0$.

Entropie wertkontinuierlicher Zufallsgrößen nach Quantisierung

Wir betrachten nun eine wertkontinuierliche Zufallsgröße  $X$  im Bereich von  $0 \le x \le 1$.

• Wir quantisieren die Zufallsgröße  $X$, um die bisherige Entropieberechnung weiter anwenden zu können.  Die so entstehende diskrete (quantisierte) Größe nennen wir  $Z$.
• Die Quantisierungsstufenzahl sei  $M$, so dass jedes Intervall  $μ$  bei der vorliegenden WDF die Breite  ${\it Δ} = 1/M$  aufweist.  Die Intervallmitten bezeichnen wir mit  $x_μ$.
• Die Wahrscheinlichkeit  $p_μ = {\rm Pr}(Z = z_μ)$  bezüglich  $Z$  ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass  $X$  einen Wert zwischen  $x_μ - {\it Δ}/2$  und  $x_μ + {\it Δ}/2$  besitzt.
• Zunächst setzen wir  $M = 2$  und verdoppeln anschließend diesen Wert in jeder Iteration.  Dadurch wird die Quantisierung zunehmend feiner. 
• Im  $n$–ten Versuch gilt dann  $M = 2^n$  und  ${\it Δ} =2^{–n}$.

$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik zeigt die Ergebnisse der ersten drei Versuche für eine unsymmetrisch–dreieckförmige WDF  $($zwischen  $0$  und  $1)$:

Entropiebestimmung der Dreieck–WDF nach Quantisierung

• $n = 1 \ ⇒ \ M = 2 \ ⇒ \ {\it Δ} = 1/2\text{:}$     $H(Z) = 0.811\ \rm bit,$
• $n = 2 \ ⇒ \ M = 4 \ ⇒ \ {\it Δ} = 1/4\text{:}$     $H(Z) = 1.749\ \rm bit,$
• $n = 3 \ ⇒ \ M = 8 \ ⇒ \ {\it Δ} = 1/8\text{:}$     $H(Z) = 2.729\ \rm bit.$

Zudem können der Grafik noch folgende Größen entnommen werden, zum Beispiel für  ${\it Δ} = 1/8$:

• Die Intervallmitten liegen bei  

$$x_1 = 1/16,\ x_2 = 3/16,\text{ ...} \ ,\ x_8 = 15/16 $$

$$ ⇒ \ x_μ = {\it Δ} · (μ - 1/2).$$

• Die Intervallflächen ergeben sich zu  

$$p_μ = {\it Δ} · f_X(x_μ) ⇒ p_8 = 1/8 · (7/8+1)/2 = 15/64.$$

• Damit lautet die  $\rm PMF$  der quantisierten Zufallsgröße $Z$:

$$P_Z(Z) = (1/64, \ 3/64, \ 5/64, \ 7/64, \ 9/64, \ 11/64, \ 13/64, \ 15/64).$$

$\text{Fazit:}$  Die Ergebnisse dieses Experiments interpretieren wir wie folgt:

• Die Entropie  $H(Z)$  wird mit steigendem $M$ immer größer.
• Der Grenzwert von  $H(Z)$  für  $M \to ∞ \ ⇒ \ {\it Δ} → 0$  ist unendlich.
• Damit ist auch die Entropie  $H(X)$  der wertkontinuierlichen Zufallsgröße  $X$  unendlich groß.
• Daraus folgt:   Die bisherige Entropie–Definition versagt bei wertkontinuierlichen Zufallsgrößen.

Zur Verifizierung unseres empirischen Ergebnisses gehen wir von folgender Gleichung aus:

$$H(Z) = \hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{M} \hspace{0.2cm} p_{\mu} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\mu}}= \hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{M} \hspace{0.2cm} {\it \Delta} \cdot f_X(x_{\mu} ) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{{\it \Delta} \cdot f_X(x_{\mu} )}\hspace{0.05cm}.$$

Wir spalten nun  $H(Z) = S_1 + S_2$  in zwei Summanden auf:

$$\begin{align*}S_1 & = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{\it \Delta} \cdot \hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{M} \hspace{0.02cm} {\it \Delta} \cdot f_X(x_{\mu} ) \approx - {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}{\it \Delta} \hspace{0.05cm},\\ S_2 & = \hspace{0.05cm} \sum_{\mu = 1}^{M} \hspace{0.2cm} f_X(x_{\mu} ) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_X(x_{\mu} ) } \cdot {\it \Delta} \hspace{0.2cm}\approx \hspace{0.2cm} \int_{0}^{1} \hspace{0.05cm} f_X(x) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_X(x) } \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

• Die Näherung  $S_1 ≈ -\log_2 {\it Δ}$  gilt exakt nur im Grenzfall  ${\it Δ} → 0$. 
• Die angegebene Näherung für  $S_2$  gilt ebenfalls nur für kleine  ${\it Δ} → {\rm d}x$, so dass man die Summe durch das Integral ersetzen sollte.

$\text{Verallgemeinerung:}$  Nähert man die wertkontinuierliche Zufallsgröße  $X$  mit der WDF  $f_X(x)$  durch eine wertdiskrete Zufallsgröße  $Z$  an, indem man eine (feine) Quantisierung mit der Intervallbreite  ${\it Δ}$  durchführt, so erhält man für die Entropie der Zufallsgröße  $Z$:

$$H(Z) \approx - {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}{\it \Delta} \hspace{0.2cm}+ \hspace{-0.35cm} \int\limits_{\text{supp}(f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_X(x) } \hspace{0.1cm}{\rm d}x = - {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}{\it \Delta} \hspace{0.2cm} + h(X) \hspace{0.5cm}\big [{\rm in \hspace{0.15cm}bit}\big ] \hspace{0.05cm}.$$

Das Integral beschreibt die  differentielle Entropie  $h(X)$  der wertkontinuierlichen Zufallsgröße  $X$. 

Für den Sonderfall  ${\it Δ} = 1/M = 2^{-n}$  kann die obige Gleichung auch wie folgt geschrieben werden:

$$H(Z) = n + h(X) \hspace{0.5cm}\big [{\rm in \hspace{0.15cm}bit}\big ] \hspace{0.05cm}.$$

• Im Grenzfall  ${\it Δ} → 0 \ ⇒ \ M → ∞ \ ⇒ \ n → ∞$  ist auch die Entropie der wertkontinuierlichen Zufallsgröße unendlich groß:   $H(X) → ∞$.
• Für jedes  $n$  ist die Gleichung  $H(Z) = n$  nur eine Näherung,  wobei die differentielle Entropie  $h(X)$  der kontinuierlichen Größe als Korrekturfaktor dient.

$\text{Beispiel 3:}$  Wir betrachten wie im  $\text{Beispiel 2}$  eine unsymmetrisch–dreieckförmige WDF.  Deren differentielle Entropie ergibt sich, wie in  Aufgabe 4.2  berechnet, zu 

Entropie der unsymmetrisch–dreieckförmigen WDF nach Quantisierung

$$h(X) = \hspace{0.05cm}-0.279 \ \rm bit.$$

• In der Tabelle ist die Entropie  $H(Z)$  der mit  $n$  Bit  quantisierten Größe  $Z$  angegeben.

• Man erkennt schon für  $n = 3$  eine gute Übereinstimmung zwischen der Näherung (untere Zeile) und der exakten Berechnung (Zeile 2).

• Für  $n = 10$  wird die Näherung noch besser mit der exakten Berechnung  (die extrem aufwändig ist)  übereinstimmen.

Definition und Eigenschaften der differentiellen Entropie

$\text{Verallgemeinerung:}$  Die  differentielle Entropie  $h(X)$  einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße  $X$  lautet mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_X(x)$:

$$h(X) = \hspace{0.1cm} - \hspace{-0.45cm} \int\limits_{\text{supp}(f_X)} \hspace{-0.35cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \big[ f_X(x) \big] \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} {\rm supp}(f_X) = \{ x\text{:} \ f_X(x) > 0 \} \hspace{0.05cm}.$$

Hinzugefügt werden muss jeweils eine Pseudo–Einheit:

• „nat” bei Verwendung von „ln”   ⇒   natürlicher Logarithmus,
• „bit” bei Verwendung von „log₂”   ⇒   Logarithmus dualis.

Während für die (herkömmliche) Entropie einer wertdiskreten Zufallsgröße  $X$  stets  $H(X) ≥ 0$  gilt, kann die differentielle Entropie  $h(X)$  einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße auch negativ sein. Daraus ist bereits ersichtlich, dass  $h(X)$  im Gegensatz zu  $H(X)$  nicht als „Unsicherheit” interpretiert werden kann.

WDF einer gleichverteilten Zufallsgröße

$\text{Beispiel 4:}$  Die obere Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$  einer zwischen  $x_{\rm min}$  und  $x_{\rm max}$  gleichverteilten Zufallsgröße  $X$.  Für deren differentielle Entropie erhält man in „nat”:

$$\begin{align*}h(X) & = - \hspace{-0.18cm}\int\limits_{x_{\rm min} }^{x_{\rm max} } \hspace{-0.28cm} \frac{1}{x_{\rm max}\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}x_{\rm min} } \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm}\big [ \frac{1}{x_{\rm max}\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}x_{\rm min} }\big ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x \\ & = {\rm ln} \hspace{0.1cm} \big[ {x_{\rm max}\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}x_{\rm min} }\big ] \cdot \big [ \frac{1}{x_{\rm max}\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}x_{\rm min} } \big ]_{x_{\rm min} }^{x_{\rm max} }={\rm ln} \hspace{0.1cm} \big[ {x_{\rm max}\hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm}x_{\rm min} } \big]\hspace{0.05cm}.\end{align*} $$

Die Gleichung für die differentielle Entropie in „bit” lautet:  

$$h(X) = \log_2 \big[x_{\rm max} – x_{ \rm min} \big].$$

$h(X)$  für verschiedene rechteckförmige Dichtefunktionen

Die linke Grafik zeigt anhand einiger Beispiele die numerische Auswertung des obigen Ergebnisses.

$\text{Interpretation:}$  Aus den sechs Skizzen im letzten Beispiel lassen sich wichtige Eigenschaften der differentiellen Entropie  $h(X)$  ablesen:

• Die differentielle Entropie wird durch eine WDF–Verschiebung  $($um  $k)$  nicht verändert:

$$h(X + k) = h(X) \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \text{Beispielsweise gilt} \ \ h_3(X) = h_4(X) = h_5(X) \hspace{0.05cm}.$$

• $h(X)$  ändert sich durch Stauchung/Spreizung der WDF um den Faktor  $k ≠ 0$  wie folgt:

$$h( k\hspace{-0.05cm} \cdot \hspace{-0.05cm}X) = h(X) + {\rm log}_2 \hspace{0.05cm} \vert k \vert \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \text{Beispielsweise gilt} \ \ h_6(X) = h_5(AX) = h_5(X) + {\rm log}_2 \hspace{0.05cm} (A) = {\rm log}_2 \hspace{0.05cm} (2A) \hspace{0.05cm}.$$

Des Weiteren gelten viele der im Kapitel  Verschiedene Entropien zweidimensionaler Zufallsgrößen  für den wertdiskreten Fall hergeleitete Gleichungen auch für wertkontinuierliche Zufallsgrößen.

Aus der folgenden Zusammenstellung erkennt man, dass oft nur das (große)  $H$  durch ein (kleines)  $h$  sowie die Wahrscheinlichkeitsfunktion  (englische Abkürzung:  $\rm PMF)$  durch die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (PDF$  bzw.  $\rm WDF)$  zu ersetzen ist.

• Bedingte differentielle Entropie  (englisch:  "Conditional Differential Entropy"):

$$H(X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y) = {\rm E} \hspace{-0.1cm}\left [ {\rm log} \hspace{0.1cm}\frac{1}{P_{\hspace{0.03cm}X \mid \hspace{0.03cm} Y} (X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y)}\right ]=\hspace{-0.04cm} \sum_{(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}P_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.8cm} P_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.03cm}X \mid \hspace{0.03cm} Y} (x \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} y)} \hspace{0.05cm}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y) = {\rm E} \hspace{-0.1cm}\left [ {\rm log} \hspace{0.1cm}\frac{1}{f_{\hspace{0.03cm}X \mid \hspace{0.03cm} Y} (X \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} Y)}\right ]=\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.04cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{f_{\hspace{0.03cm}X \mid \hspace{0.03cm} Y} (x \hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} y)} \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$

• Differentielle Verbundentropie  (englisch:  "Joint Differential Entropy"):

$$H(XY) = {\rm E} \left [ {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{XY}(X, Y)}\right ] =\hspace{-0.04cm} \sum_{(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}P_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.8cm} P_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ P_{XY}(x, y)} \hspace{0.05cm}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(XY) = {\rm E} \left [ {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{f_{XY}(X, Y)}\right ] =\hspace{0.2cm} \int \hspace{-0.9cm} \int\limits_{\hspace{-0.04cm}(x, y) \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{XY}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.6cm} f_{XY}(x, y) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_{XY}(x, y) } \hspace{0.15cm}{\rm d}x\hspace{0.15cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$

• Kettenregel  der differentiellen Entropie:

$$H(X_1\hspace{0.05cm}X_2\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}X_n) =\sum_{i = 1}^{n} H(X_i | X_1\hspace{0.05cm}X_2\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}X_{i-1}) \le \sum_{i = 1}^{n} H(X_i) \hspace{0.05cm}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(X_1\hspace{0.05cm}X_2\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}X_n) =\sum_{i = 1}^{n} h(X_i | X_1\hspace{0.05cm}X_2\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}X_{i-1}) \le \sum_{i = 1}^{n} h(X_i) \hspace{0.05cm}.$$

• Kullback–Leibler–Distanz  zwischen den Zufallsgrößen  $X$  und  $Y$:

$$D(P_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}P_Y) = {\rm E} \left [ {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{P_X(X)}{P_Y(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{x \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp} \hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}P_{X})\hspace{-0.8cm}} P_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{P_X(x)}{P_Y(x)} \ge 0$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}D(f_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}f_Y) = {\rm E} \left [ {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{f_X(X)}{f_Y(X)}\right ] \hspace{0.2cm}= \hspace{-0.4cm}\int\limits_{x \hspace{0.1cm}\in \hspace{0.1cm}{\rm supp}\hspace{0.03cm}(\hspace{-0.03cm}f_{X}\hspace{-0.08cm})} \hspace{-0.4cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{f_X(x)}{f_Y(x)} \hspace{0.15cm}{\rm d}x \ge 0 \hspace{0.05cm}.$$

Differentielle Entropie einiger spitzenwertbegrenzter Zufallsgrößen

Differentielle Entropie spitzenwertbegrenzter Zufallsgrößen

Die Tabelle zeigt die Ergebnisse hinsichtlich der differentiellen Entropie für drei beispielhafte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_X(x)$.  Diese sind alle spitzenwertbegrenzt, das heißt, es gilt jeweils  $|X| ≤ A$.

• Bei  »Spitzenwertbegrenzung«  kann man die differentielle Entropie stets wie folgt darstellen:

$$h(X) = {\rm log}\,\, ({\it \Gamma}_{\rm A} \cdot A).$$

Das Argument  ${\it \Gamma}_A · A$  ist unabhängig davon, welchen Logarithmus man verwendet.  Anzufügen ist

• bei Verwendung von  $\ln$  die Pseudo–Einheit „nat”,
• bei Verwendung von  $\log_2$  die Pseudo–Einheit „bit”.

$\text{Theorem:}$  Unter der Nebenbedingung  Spitzenwertbegrenzung  (englisch:  Peak Constraint)   ⇒   also WDF  $f_X(x) = 0$  für  $ \vert x \vert > A$   –   führt die  Gleichverteilung  zur maximalen differentiellen Entropie:

$$h_{\rm max}(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} (2A)\hspace{0.05cm}.$$

Hier ist die geeignete Kenngröße  ${\it \Gamma}_{\rm A} = 2$  maximal. Sie finden den  Beweis  am Ende dieses Kapitels.

Das Theorem bedeutet gleichzeitig, dass bei jeder anderen spitzenwertbegrenzten WDF (außer der Gleichverteilung) der Kennparameter  ${\it \Gamma}_{\rm A} < 2$  ist.

• Für die symmetrische Dreieckverteilung ergibt sich nach obiger Tabelle  ${\it \Gamma}_{\rm A} = \sqrt{\rm e} ≈ 1.649$.
• Beim einseitigen Dreieck  $($zwischen  $0$  und  $A)$  ist demgegenüber  ${\it \Gamma}_{\rm A}$  nur halb so groß.
• Auch für jedes andere Dreieck  $($absolute Breite  $A$,  Spitze beliebig zwischen  $0$  und  $A)$  gilt  ${\it \Gamma}_{\rm A} ≈ 0.824$.

Die jeweils zweite  $h(X)$–Angabe und die Kenngröße  ${\it \Gamma}_{\rm L}$  eignet sich dagegen für den Vergleich von Zufallsgrößen bei Leistungsbegrenzung, der im nächsten Abschnitt behandelt wird.  Unter dieser Nebenbedingung ist zum Beispiel die symmetrische Dreieckverteilung  $({\it \Gamma}_{\rm L} ≈ 16.31)$  besser als die Gleichverteilung  ${\it \Gamma}_{\rm L} = 12)$.

Differentielle Entropie einiger leistungsbegrenzter Zufallsgrößen

Die differentiellen Entropien  $h(X)$  für drei beispielhafte Dichtefunktionen  $f_X(x)$  ohne Begrenzung, die durch entsprechende Parameterwahl alle die gleiche Varianz  $σ^2 = {\rm E}\big[|X -m_x|^2 \big]$  und damit gleiche Streuung  $σ$  aufweisen, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen.  Berücksichtigt sind:

Differentielle Entropie leistungsbegrenzter Zufallsgrößen

• die  Gaußverteilung,
• die  Laplaceverteilung  ⇒   eine zweiseitige Exponentialverteilung,
• die (einseitige)   Exponentialverteilung.

Die differentielle Entropie lässt sich hier stets darstellen als

$$h(X) = 1/2 \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\rm L} \cdot \sigma^2).$$

Das Ergebnis unterscheidet sich nur durch die Pseudo–Einheit

• „nat” bei Verwendung von  $\ln$  bzw.
• „bit” bei Verwendung vo n $\log_2$.

$\text{Theorem:}$  Unter der Nebenbedingung der  Leistungsbegrenzung  (englisch:  Power Constraint)  führt die Gaußverteilung

$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2} } \cdot {\rm exp} \left [ - \hspace{0.05cm}\frac{(x - m_1)^2}{2 \sigma^2}\right ]$$

unabhängig vom Mittelwert  $m_1$  zur maximalen differentiellen Entropie:

$$h(X) = 1/2 \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} (2\pi{\rm e} \cdot \sigma^2)\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\it \Gamma}_{\rm L} < 2π{\rm e} ≈ 17.08\hspace{0.05cm}.$$

Sie finden den  Beweis  am Ende dieses Kapitels.

Diese Aussage bedeutet gleichzeitig, dass für jede andere WDF als die Gaußverteilung die Kenngröße  ${\it \Gamma}_{\rm L} < 2π{\rm e} ≈ 17.08$  sein wird.  Beispielsweise ergibt sich der Kennwert

• für die Dreieckverteilung zu  ${\it \Gamma}_{\rm L} = 6{\rm e} ≈ 16.31$,
• für die Laplaceverteilung zu  ${\it \Gamma}_{\rm L} = 2{\rm e}^2 ≈ 14.78$, und
• für die Gleichverteilung zu  $Γ_{\rm L} = 12$ .

Beweis: Maximale differentielle Entropie bei Spitzenwertbegrenzung

Unter der Nebenbedingung der Spitzenwertbegrenzung   ⇒   $|X| ≤ A$  gilt für die differentielle Entropie:

$$h(X) = \hspace{0.1cm} \hspace{0.05cm} \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_X(x) } \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.$$

Von allen möglichen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_X(x)$, die die Bedingung

$$\int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x = 1$$

erfüllen, ist nun diejenige Funktion  $g_X(x)$  gesucht, die zur maximalen differentiellen Entropie  $h(X)$  führt.

Zur Herleitung benutzen wir das Verfahren der  Lagrange–Multiplikatoren:

• Wir definieren die Lagrange–Kenngröße  $L$  in der Weise, dass darin sowohl  $h(X)$  als auch die Nebenbedingung  $|X| ≤ A$  enthalten sind:

$$L= \hspace{0.1cm} \hspace{0.05cm} \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_X(x) } \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.5cm}+ \hspace{0.5cm} \lambda \cdot \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.$$

• Wir setzen allgemein  $f_X(x) = g_X(x) + ε · ε_X(x)$, wobei  $ε_X(x)$  eine beliebige Funktion darstellt, mit der Einschränkung, dass die WDF–Fläche gleich  $1$ sein muss.  Damit erhalten wir:

$$\begin{align*}L = \hspace{0.1cm} \hspace{0.05cm} \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm}\big [ g_X(x) + \varepsilon \cdot \varepsilon_X(x)\big ] \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ g_X(x) + \varepsilon \cdot \varepsilon_X(x) } \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \lambda \cdot \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} \big [ g_X(x) + \varepsilon \cdot \varepsilon_X(x) \big ] \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

• Die bestmögliche Funktion ergibt sich dann, wenn es für  $ε = 0$  eine stationäre Lösung gibt:

$$\left [\frac{{\rm d}L}{{\rm d}\varepsilon} \right ]_{\varepsilon \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}0}=\hspace{0.1cm} \hspace{0.05cm} \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} \varepsilon_X(x) \cdot \big [ {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ g_X(x) } -1 \big ]\hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.3cm} + \hspace{0.3cm}\lambda \cdot \int_{-A}^{+A} \hspace{0.05cm} \varepsilon_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \stackrel{!}{=} 0 \hspace{0.05cm}.$$

• Diese Bedingungsgleichung ist unabhängig von  $ε_X$  nur dann zu erfüllen, wenn gilt:

$${\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ g_X(x) } -1 + \lambda = 0 \hspace{0.4cm} \forall x \in \big[-A, +A \big]\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} g_X(x) = {\rm const.}\hspace{0.4cm} \forall x \in \big [-A, +A \big]\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Resümee bei Spitzenwertbegrenzung:}$ 

Die maximale differentielle Entropie ergibt sich unter der Nebenbedingung  $ \vert X \vert ≤ A$  für die  Gleichverteilung  (englisch: Uniform PDF):

$$h_{\rm max}(X) = {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\rm A} \cdot A) = {\rm log} \hspace{0.1cm} (2A) \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} {\it \Gamma}_{\rm A} = 2 \hspace{0.05cm}.$$

Jede andere Zufallsgröße mit der WDF–Eigenschaft  $f_X(\vert x \vert > A) = 0$  führt zu einer kleineren differentiellen Entropie, gekennzeichnet durch den Parameter  ${\it \Gamma}_{\rm A} < 2$.

Beweis: Maximale differentielle Entropie bei Leistungsbegrenzung

Vorneweg zur Begriffserklärung:

• Eigentlich wird nicht die Leistung   ⇒   das  zweite Moment  $m_2$ begrenzt, sondern das  zweite Zentralmoment  ⇒   Varianz $μ_2 = σ^2$.
• Gesucht wird also nun die maximale differentielle Entropie unter der Nebenbedingung  ${\rm E}\big[|X – m_1|^2 \big] ≤ σ^2$.
• Das  $≤$–Zeichen dürfen wir hierbei durch das Gleichheitszeichen ersetzen.

Lassen wir nur mittelwertfreie Zufallsgrößen zu, so umgehen wir das Problem.  Damit lautet der  Lagrange-Multiplikator:

$$L= \hspace{0.1cm} \hspace{0.05cm} \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.1cm} f_X(x) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{ f_X(x) } \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} \lambda_1 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.1cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} \lambda_2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.1cm} x^2 \cdot f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.$$

Nach ähnlichem Vorgehen wie beim  Beweis für Spitzenwertbegrenzung  zeigt sich, dass die „bestmögliche” Funktion  $g_X(x) \sim {\rm e}^{–λ_2\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm} x^2}$  sein muss   ⇒   Gaußverteilung:

$$g_X(x) ={1}/{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \cdot {\rm e}^{ - \hspace{0.05cm}{x^2}/{(2 \sigma^2)} }\hspace{0.05cm}.$$

Wir verwenden hier aber für den expliziten Beweis die  Kullback–Leibler–Distanz  zwischen einer geeigneten allgemeinen WDF  $f_X(x)$  und der Gauß–WDF  $g_X(x)$:

$$D(f_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}g_X) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{0.02cm} f_X(x) \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} \frac{f_X(x)}{g_X(x)} \hspace{0.1cm}{\rm d}x = -h(X) - I_2\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm}I_2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{0.02cm} f_X(x) \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} {g_X(x)} \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.$$

Zur Vereinfachung ist hier der natürliche Logarithmus   ⇒   $\ln$ verwendet. Damit erhalten wir für das zweite Integral:

$$I_2 = - \frac{1}{2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2\pi\sigma^2) \cdot \hspace{-0.1cm}\int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.4cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.3cm}- \hspace{0.3cm} \frac{1}{2\sigma^2} \cdot \hspace{-0.1cm}\int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{0.02cm} x^2 \cdot f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}.$$

Das erste Integral ist definitionsgemäß gleich  $1$  und das zweite Integral ergibt  $σ^2$:

$$I_2 = - {1}/{2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2\pi\sigma^2) - {1}/{2} \cdot [{\rm ln} \hspace{0.1cm} ({\rm e})] = - {1}/{2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2\pi{\rm e} \cdot \sigma^2)$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} D(f_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}g_X) = -h(X) - I_2 = -h(X) + {1}/{2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.1cm} (2\pi{\rm e} \cdot \sigma^2)\hspace{0.05cm}.$$

Da auch bei wertkontinuierlichen Zufallsgrößen die Kullback–Leibler–Distanz stets  $\ge 0$  ist, erhält man nach Verallgemeinerung („ln”   ⇒   „log”):

$$h(X) \le {1}/{2} \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} (2\pi{\rm e} \cdot \sigma^2)\hspace{0.05cm}.$$

Das Gleichzeichen gilt nur, wenn die Zufallsgröße  $X$  gaußverteilt ist.

$\text{Resümee bei Leistungsbegrenzung:}$ 

Die maximale differentielle Entropie ergibt sich unter der Bedingung  ${\rm E}\big[ \vert X – m_1 \vert ^2 \big] ≤ σ^2$  unabhängig von  $m_1$  für die  Gaußverteilung  (englisch:  Gaussian PDF):

$$h_{\rm max}(X) = {1}/{2} \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} ({\it \Gamma}_{\hspace{-0.01cm} \rm L} \cdot \sigma^2) = {1}/{2} \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} (2\pi{\rm e} \cdot \sigma^2) \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} {\it \Gamma}_{\rm L} = 2\pi{\rm e} \hspace{0.05cm}.$$

Jede andere wertkontinuierliche Zufallsgröße  $X$  mit Varianz  ${\rm E}\big[ \vert X – m_1 \vert ^2 \big] ≤ σ^2$  führt zu einem kleineren Wert, gekennzeichnet durch die Kenngröße ${\it \Gamma}_{\rm L} < 2πe$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.1: WDF, VTF und Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 4.1Z: Momentenberechnung

Aufgabe 4.2: Dreieckförmige WDF

Aufgabe 4.2Z: Gemischte Zufallsgrößen

Aufgabe 4.3: WDF–Vergleich bezüglich differentieller Entropie

Aufgabe 4.3Z: Exponential– und Laplaceverteilung

Aufgabe 4.4: Herkömmliche Entropie und differenzielle Entropie