Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation

1. Digitalsignalübertragung
2. Verallgemeinerte Beschreibung digitaler Modulationsverfahren
3. Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation

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Rayleigh– und Riceverteilung

Die für eine kohärente Demodulation erforderliche Schätzung des Phasenwinkels aus dem ankommenden Signal ist bei vielen Anwendungen nicht oder nur eingeschränkt möglich.  So führt die Bewegung eines Mobilteilnehmers mit hoher Geschwindigkeit zu sehr schnellen zeitlichen Änderungen des Phasenwinkels  $\phi$,  was dessen ausreichend genaue Bestimmung erschwert oder gar verhindert.

Diese Tatsache führt zu den  nichtkohärenten Demodulationsverfahren  mit dem Vorteil reduzierter Komplexität,  allerdings mit erhöhter Verfälschungswahrscheinlichkeit.  Bei der Herleitung der Gleichungen stößt man auf zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen,  die hier vorneweg angegeben werden:

• Die  Rayleighverteilung  erhält man für die WDF der Zufallsgröße  $y$  mit Realisierung  $\eta$,  die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten  $u$  und  $v$  $($beide mit der gleichen Streuung  $\sigma_n)$  wie folgt ergibt:

\[y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) ={\eta}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - {\eta^2}/{ (2\sigma_n^2)}\right ] \hspace{0.05cm}.\]

• Die  Riceverteilung  erhält man unter gleichen Randbedingungen für den Fall,  dass bei einer der Komponenten  $(u$  oder  $v)$  noch eine Konstante  $C$  addiert wird:

\[y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = {\eta}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - ({\eta^2 + C^2})/(2 \sigma_n^2) \right ] \cdot {\rm I }_0 \left [{\eta \cdot C}/{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm}.\]

Die Riceverteilung verwendet die  "modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung",  deren Definition und Reihenentwicklung wie folgt lauten:

\[{\rm I }_0 (x) = \frac{1}{ 2\pi} \cdot \int_{0}^{2\pi} {\rm e }^{-x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\cos(\alpha)} \,{\rm d} \alpha \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(x/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von Rayleigh– und Riceverteilung.  Zu dieser Darstellung ist anzumerken:

Rayleigh- und Rice-WDF,  jeweils für  $σ_n = 0.5$

• Die Riceverteilung ist durch die beiden Parameter  $C$  und  $\sigma_n$  bestimmt.  Mit  $C = 0$  ist die Rice–WDF identisch mit der Rayleigh–WDF.
  

• Die Rayleigh–WDF mit größerem  $\sigma_n$  ist formgleich wie für  $\sigma_n = 0.5$  dargestellt,  aber im Verhältnis der Streuungen breiter und niedriger.
  

• $\sigma_n$  gibt die Streuung der beiden gaußverteilten Zufallsgrößen  $u$  und  $v$  an und nicht die Streuung der rayleighverteilten Zufallsgröße  $y$.  Diese ist:

\[\sigma_y = \sigma_n \cdot \sqrt{2 - {\pi}/{2 }} \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} 0.655 \cdot \sigma_n \hspace{0.05cm}.\]

• Die Rayleighverteilung ist extrem unsymmetrisch,  erkennbar am großen Wert für das  "Zentralmoment 3. Ordnung"   ⇒   "Charliersche Schiefe":

$$\mu_3/\sigma_y \approx 0.27.$$

• Die Riceverteilung ist um so symmetrischer, je größer das Verhältnis von Mittelwert und Streuung  $(C/\sigma_n)$  ist.  Für  $C/\sigma_n \ge 4$  ist  $\mu_3 \approx 0$.

• Je größer  $C/\sigma_n$  ist, um so mehr nähert sich die Riceverteilung $($mit  $C$,  $\sigma_n)$  einer  Gaußverteilung  mit Mittelwert  $C$  und Streuung  $\sigma_n$  an:

$$p_y (\eta) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma_n} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{(\eta - C)^2}{2 \sigma_n^2}\right ]$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} m_y = C\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\sigma_y = \sigma_n \hspace{0.05cm}.$$

Nichtkohärente Demodulation von On–Off–Keying

Wir betrachten  "On–Off–Keying"  $\rm (OOK)$  bzw.  $\rm 2–ASK)$  im äquivalenten Tiefpassbereich.

Kohärente und nichtkohärente Demodulation von On-Off-Keying

• Bei kohärenter Demodulation ist die Signalraumkonstellation des Empfangssignals  $\boldsymbol{r}(t)$  gleich der des Sendesignals  $\boldsymbol{s}(t)$  und besteht aus zwei Punkten  (linke Grafik).

• Die Entscheidungsgrenze  $G$  liegt in der Mitte zwischen diesen Punkten  $\boldsymbol{r}_0$  und  $\boldsymbol{r}_1$.  Die Pfeile markieren die grobe Richtung von Rauschvektoren, die eventuell zu Übertragungsfehlern führen.

Dagegen gilt bei nichtkohärenter Demodulation  (rechte Grafik):

• Der Punkt  $\boldsymbol{r}_1 = \boldsymbol{s}_1 = 0$  bleibt weiter erhalten.  Dagegen kann  $\boldsymbol{r}_0 = \boldsymbol{s}_0 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.02cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\phi}$  auf jeden Punkt des Kreises um  $\boldsymbol{s}_0$  liegen,  da  $\phi$  unbekannt ist.
  

• Der Entscheidungsprozess unter Berücksichtigung des AWGN–Rauschens ist nun zweidimensional zu interpretieren,  wie durch die Pfeile in der rechten Grafik angedeutet.
  

• Das Entscheidungsgebiet  $I_1$  ist ein Kreis,  dessen Radius  $G$  ein optimierbarer Parameter ist.  Das Entscheidungsgebiet  $I_0$  liegt außerhalb des Kreises.
  

Damit liegt die Strukur des optimalen OOK–Empfängers  (im äquivalenten Tiefpassbereich)  fest.  Entsprechend dieser zweiten Grafik gilt:

Empfänger für nichtkohärente OOK-Demodulation (komplexen Signale sind blau beschriftet)

• Das Eingangssignal  $\boldsymbol{r}(t) = \boldsymbol{s}(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.02cm}{\rm j}\hspace{0.03cm}\phi} + \boldsymbol{n}(t)$  ist aufgrund des Phasenwinkels  $\phi$  und wegen des komplexen Rauschterms  $\boldsymbol{n}(t)$  im allgemeinen komplex.

• Erforderlich ist demzufolge nun die Korrelation zwischen dem komplexen Empfangssignal  $\boldsymbol{r}(t)$  und einer komplexen Basisfunktion  $\boldsymbol{\xi}_1(t)$.
  

• Das Ergebnis ist der  (komplexe)  Detektorausgangswert  $\boldsymbol{r}$,  woraus als reelle Entscheidereingangsgröße der Betrag  $y = |\boldsymbol{r}(t)|$  gebildet wird.
  

• Ist der Entscheidungswert  $y \gt G$, so wird als Schätzwert  $m_0$  ausgegeben, andernfalls  $m_1$.

• Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist bei gleichwahrscheinlichen Symbolen   ⇒   ${\rm Pr}(\boldsymbol{m}_0) = {\rm Pr}(\boldsymbol{m}_1) =1/2$ :

\[p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{ 2} \cdot \int_{0}^{G} p_{y\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}m} (\eta \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0) \,{\rm d} \eta + {1}/{ 2} \cdot \int_{G}^{\infty} p_{y\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}m} (\eta \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_1) \,{\rm d} \eta \hspace{0.05cm}.\]

• Aufgrund der Rice –WDF  $p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (\eta\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_0)$   und der Rayleigh–WDF   $p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (\eta\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_1)$   kann allerdings diese Wahrscheinlichkeit nur numerisch ermittelt werden.

• Die optimale Entscheidungsgrenze  $G$  ist vorher als die Lösung der folgenden Gleichung zu bestimmen:

\[p_{y\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}m} (G \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_0) = p_{y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m} (G \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_1) \hspace{0.05cm}.\]

Dichtefunktionen für „OOK, nichtkohärent”

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt das Ergebnis dieser Gleichung für  $\sigma_n = 0.5$  und  $C = 2$,  wobei die  (rote)  Rice–WDF durch eine Gauß–WDF mit Mittelwert  $C$  und Streuung  $\sigma_n$  approximiert ist.

Man erkennt daraus:

• Die optimale Entscheidungsgrenze  $($hier:   $G \approx 1.25)$  ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden Kurven.
  

• Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  ist die Summe der beiden farblich hinterlegten Flächen.

• Im Beispiel ergibt sich  $p_{\rm S} \approx 5\%$.

⇒   Die Fehlerwahrscheinlichkeit für andere Werte von  $C$  und  $\sigma_n$  sowie die optimale Entscheidungsgrenze  $G$  können Sie mit dem HTML5/JavaScript–Berechnungstool  "Nichtkohärentes On–Off–Keying"  bestimmen.

Nichtkohärente Demodulation von binärer FSK (2–FSK)

Wie schon im  "letzten Kapitel"  gezeigt wurde,  lässt sich "Binary Frequency Shift Keying"  $\rm (2–FSK)$  im äquivalenten Tiefpassbereich durch die Basisfunktionen

\[\xi_1(t) = \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},\]

\[ \xi_2(t) = \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T \hspace{0.05cm}\]

darstellen.  Um Orthogonalität zwischen diesen beiden komplexen Basisfunktionen zu erreichen,  muss der  "Modulationsindex"  $h$  ganzzahlig gewählt werden:

\[< \hspace{-0.05cm}\xi_1(t) \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \xi_2(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} h = 2 \cdot \Delta f_{\rm A} \cdot T\hspace{0.05cm}= 1, 2, 3, \text{...}\]

Die Grafik zeigt die Struktur zur nichtkohärenten orthogonalen Demodulation der binären FSK.

Nichtkohärente Demodulation der binären FSK

Im rauschfreien Fall   ⇒   $n(t) \equiv 0$  gilt für die Ausgänge der beiden Korrelatoren:

\[r_1 = \hspace{0.2cm} < \hspace{-0.05cm}r(t) \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \xi_1(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm falls}\hspace{0.25cm} m = m_1\hspace{0.05cm},\]

\[ r_2 = \hspace{0.2cm} < \hspace{-0.05cm}r(t) \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \xi_2(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm falls}\hspace{0.25cm} m = m_0\hspace{0.05cm}.\]

Nach jeweiliger Betragsbildung   ⇒   $y_1 = |r_1|, \ \ y_2 = |r_2|$  ist dann folgende Entscheidungsregel anwendbar:

\[\hat{m} = \left\{ \begin{array}{c} m_0 \\ m_1 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm} y_1 > y_2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm falls}\hspace{0.15cm} y_1 < y_2 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}\]

Zur einfacheren Entscheiderrealisierung kann auch die Differenz  $y_1 - y_2$  mit der Entscheidungsgrenze  $G = 0$  ausgewertet werden.

Fehlerwahrscheinlichkeit bei nichtkohärenter 2–FSK–Demodulation

Im Folgenden wird die Fehlerwahrscheinlichkeit unter der Annahme berechnet, dass  $m = m_0$  gesendet wurde.

• Unter der weiteren Voraussetzung gleichwahrscheinlicher binärer Nachrichten  $m_0$  und  $m_1$  ist die absolute Fehlerwahrscheinlichkeit genau so groß:

$${\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}m_0) \hspace{0.05cm}.$$

• Mit  $m = m_0$  ergeben sich für die komplexen Korrelationsausgangswerte  $r_i$  und deren Beträge  $y_i$:
  

\[r_1 = \sqrt{E} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\phi} + n_1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_1 = |r_1|\hspace{0.15cm}{\rm ist}\hspace{0.15cm}{\rm riceverteilt} \hspace{0.05cm},\]

\[ r_2 = n_2\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_2 = |r_2|\hspace{0.15cm}{\rm ist}\hspace{0.15cm}{\rm rayleighverteilt} \hspace{0.05cm}.\]

• Hierbei steht  $E$  wegen  $M = 2$  für die  "mittlere Symbolenergie"  $(E_{\rm S})$  und diedie  "mittlere Bitenergie"  $(E_{\rm B})$  gleichermaßen.   $n_1$  und  $n_2$  sind unkorrelierte komplexe Rauschgrößen mit Mittelwert Null und Varianz  $2 \cdot \sigma_n^2$.  Somit lautet die  "Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion":

\[p_{y_1,\hspace{0.03cm} y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1, \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) = p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \cdot p_{y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \hspace{0.05cm},\]

$$p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) = {\eta_1}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - ({\eta_1^2 + E})/({2 \sigma_n^2}) }\cdot {\rm I }_0 \left [{\eta_1 \cdot \sqrt{E}}/{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm},$$

$$ p_{y_2 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) = {\eta_2}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - \eta_2^2 /({2 \sigma_n^2}) } \hspace{0.05cm}.$$

• Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich allgemein wie folgt:

\[{\rm Pr}({\cal{E}}) = \int_{0}^{\infty} \int_{\eta_1}^{\infty} p_{y_1,\hspace{0.03cm} y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1, \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \,\,{\rm d} \eta_2\,\,{\rm d} \eta_1 = \int_{0}^{\infty} p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \cdot \int_{\eta_1}^{\infty} p_{y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0)\,\,{\rm d} \eta_2\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]

$\text{Fazit:}$  Für die  Fehlerwahrscheinlichkeit bei nichtkohärenter Demodulation der binären FSK  erhält man nach einigen mathematischen Umformungen das überraschend einfache Ergebnis

\[p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E} }) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{-E_{\rm S}/(2 N_0)} \hspace{0.05cm}.\]

• Zum Vergleich sei nochmals das Ergebnis für die  kohärente Demodulation  angegeben:

\[p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E} }) = {\rm Q}(\sqrt{ E_{\rm S}/N_0}) \hspace{0.05cm}.\]

$\text{Herleitung:}$  Das vorweg genommene Ergebnis soll nun in einigen Rechenschritten hergeleitet werden. Wir gehen dabei von den folgenden Gleichungen aus:

$${\rm Pr}({\cal{E} }) = \int_{0}^{\infty} p_{y_1 \hspace{0.01cm} \vert\hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}m_0) \cdot \int_{\eta_1}^{\infty} p_{y_2 \hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}m_0)\,\,{\rm d} \eta_2\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\text{mit}$$

$$p_{y_1 \hspace{0.01cm}\vert \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}m_0) = {\eta_1}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - ({\eta_1^2 + E})/({2 \sigma_n^2}) }\cdot {\rm I }_0 \left [{\eta_1 \cdot \sqrt{E} }/{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm},$$

$$p_{y_\hspace{0.01cm}\vert \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}m_0) = {\eta_2}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - \eta_2^2 /({2 \sigma_n^2}) } \hspace{0.05cm}.$$

(1)   Das innere Integral gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die rayleighverteilte Zufallsgröße  $\eta_2$  größer ist als  $\eta_1$  – siehe Musterlösung zur  "Aufgabe 4.17Z":

$$\int_{\eta_1}^{\infty} p_{y_2 \hspace{0.03cm}\vert\hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}m_0)\,\,{\rm d} \eta_2 = {\rm e }^{ - \eta_1^2 /({2 \sigma_n^2}) } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({\cal{E} }) = \int_{0}^{\infty}{\eta_1}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - ({2\eta_1^2 + E})/({2 \sigma_n^2}) }\cdot {\rm I }_0 \left [ {\eta_1 \cdot \sqrt{E} }/{ \sigma_n^2}\right ]\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.$$

(2)   Mit den  (willkürlichen)  Substitutionen  $C_0^2 = E/4$  und  $\sigma_0^2 = \sigma_n^2/2$,  erhält man:

$${\rm Pr}({\cal{E} }) = \int_{0}^{\infty} \frac{\eta_1}{2 \cdot \sigma_0^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{2 \eta_1^2 + 4 C_0^2}{4 \sigma_0^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta_1 \cdot 2C_0}{ 2 \sigma_0^2}\right ]\,\,{\rm d} \eta_1 = \int_{0}^{\infty} \frac{\eta_1}{2 \cdot \sigma_0^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta_1^2 + 2 C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta_1 \cdot C_0}{ \sigma_0^2}\right ]\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.$$

(3)   Durch Verschieben von Anteilen vor das Integral gelingt es,  dass der Integrand wieder eine  Riceverteilung  beschreibt:

\[{\rm Pr}({\cal{E} }) = {1}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ] \cdot \int\limits_{0}^{\infty} \frac{\eta_1}{ \sigma_0^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta_1^2 + C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta_1 \cdot C_0}{ \sigma_0^2}\right ]\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]

(4)   Der Integrand beschreibt nun die Rice–WDF. Das Integral über das gesamte Definitionsgebiet von  $0$  bis  $+\infty$  ergibt wie bei jeder WDF den Wert Eins,  so dass gilt:

\[{\rm Pr}({\cal{E} }) = {1}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ]\hspace{0.05cm}.\]

(5)   Mit  $C_0^2 = E/4$  und  $\sigma_0^2 = \sigma_n^2/2$  sowie der allgemein gültigen Beziehung  $\sigma_n^2 = N_0$  erhält man schließlich:

$${\rm Pr}({\cal{E} }) = {1}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ] = {1}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ E_{\rm S}/4}{N_{\rm 0}/2}\right ] \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E} }) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{-E_{\rm S}/(2 N_0)}\hspace{0.05cm}.$$

        $E_{\rm S}$  gibt hierbei die mittlere Signalenergie pro Symbol an, die bei FSK gleich der Normierungsenergie  $E$  ist.

$\text{q.e.d.}$

FSK-Fehlerwahrscheinlichkeit bei kohärenter und nichtkohärenter Demodulation

$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik stellt die Fehlerwahrscheinlichkeitskurven beider Demodulationsverfahren in Abhängigkeit des AWGN–Qotienten  $E_{\rm S}/N_0$  vergleichend gegenüber.

Man erkennt:

1. Die nichtkohärente BFSK  (rote Kurve)  benötigt gegenüber der kohärenten BFSK  (blaue Kurve)  bei  $p_{\rm S}= 10^{-5}$  ein um   $0.8 \ \rm dB$  größeres  $E_{\rm S}/N_0$.
   
   
2. Bei  $p_{\rm S}= 10^{-3}$  beträgt der Abstand sogar  $1.3 \ \rm dB$.
   
   
3. Dagegen beträgt der Abstand zwischen der kohärenten binären FSK von der kohärenten BPSK unabhängig von der Fehlerwahrscheinlichkeit stets  $1.3 \ \rm dB$.

Nichtkohärente Demodulation von mehrstufiger FSK

Orthogonale $M$–stufige FSK für  $M= 3$

Wir betrachten nun die Nachrichtenmenge  $\{m_1, m_2,\hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}, m_{M}\}$  und bezeichnen  $M$  als Stufenzahl.

1. Voraussetzung für die Anwendung des Modulationsverfahrens  "Frequency Shift Keying"  und zugleich eines nichtkohärenten Demodulators ist wie bei der binären FSK ein ganzzahliger Modulationsindex  $h$.
   
   
2. In diesem Fall ist die  $M$–stufige FSK orthogonal und es ergibt sich eine Signalraumkonstellation,  wie in der nebenstehenden Grafik für den Sonderfall  $M = 3$  dargestellt.
   
   

Der nichtkohärente Demodulator ist nachfolgend skizziert.

• Gegenüber der  "Empfängerstruktur für binäre FSK"  unterscheidet sich dieser Empfänger lediglich durch  $M$  Zweige anstelle von nur zweien,  welche die Vergleichswerte  $y_1$,  $y_2$, ... , $y_M$  liefern.
  

• Zur Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit gehen wir von der Annahme aus,  dass  $m_1$  gesendet wurde.  Das bedeutet,  dass die Entscheidung richtig ist,  wenn der größte Detektionsausgangswert  $y_1$  ist:

\[{\rm Pr}({\cal{C}}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} \big [ (y_2 < y_1) \cap (y_3 < y_1) \cap ... \cap (y_{M} < y_1) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_1\big ] = {\rm Pr} \left [ \hspace{0.1cm} \bigcap\limits_{k = 2}^M (y_k < y_1) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m = m_1\right ] \hspace{0.01cm}.\]

Nichtkohärente Empfängerstruktur für  $M$–stufige FSK

$\text{Fazit:}$ 

• Die  Fehlerwahrscheinlichkeit der M–stufigen FSK bei nichtkohärenter Demodulation  ist gleich  ${\rm Pr}({\cal{E} }) = 1 - {\rm Pr}({\cal{C} })$.

• Nachfolgend wird gezeigt,  dass ${\rm Pr}({\cal{C} })$  wie folgt dargestellt werden kann:

\[{\rm Pr}({\cal{C} }) = \sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i } \cdot \frac{1}{i+1} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{i \cdot E_{\rm S} } {(i+1) \cdot N_0}\right ] \hspace{0.05cm}\hspace{0.5cm} \text{mit}\hspace{0.5cm} E_{\rm S} = E_{\rm B} \cdot {\rm log_2}(M)\hspace{0.05cm}.\]

• Im Sonderfall  $M = 2$  ergibt sich natürlich wieder das im  "letzten Abschnitt"  erhaltene Ergebnis:

\[p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E} }) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{-E_{\rm S}/(2 N_0)} \hspace{0.05cm}.\]

$\text{Herleitung:}$  Das vorweg genommene Ergebnis soll nun in einigen Rechenschritten hergeleitet werden.

• Wir gehen von der Annahme aus,  dass  $m_1$  gesendet wurde.

• Das bedeutet,  dass die Entscheidung richtig ist,  wenn der größte Detektionsausgangswert  $y_1$  ist.

• Ansonsten gibt es gewisse Analogien zur Herleitung der  "BFSK–Fehlerwahrscheinlichkeit".
  

(1)   Mit der bedingten Wahrscheinlichkeitsdichte  $p_{y_1 \hspace{0.01cm} \vert\hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}m_1)$  erhält man:

\[{\rm Pr}({\cal{C} }) = \int_{0}^{\infty} {\rm Pr} \left [ \hspace{0.1cm} \bigcap\limits_{k = 2}^M (y_k < y_1) \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}y_1 = \eta_1, m = m_1\right ] \cdot p_{y_1 \hspace{0.01cm} \vert\hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}m_1) \,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]

(2)   Die Entscheidungswerte  $y_2$,  $y_3$,  ... , $y_M$  sind bei gegebenem  $y_1$  statistisch unabhängig.  Deshalb gilt:

\[{\rm Pr}({\cal{C} }) = \int_{0}^{\infty} \left \{ {\rm Pr} \big [ (y_2 < y_1) \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}y_1 = \eta_1, m = m_1\big ] \right \}^{M-1} \cdot p_{y_1 \hspace{0.01cm} \vert\hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}m_1) \,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]

(3)   Der ausgewählte Wert  $y_2$  konditioniert auf  $m_1$  besitzt eine Rayleighverteilung mit Parameter  $\sigma_n^2$:

\[{\rm Pr} \big [ (y_2 < y_1) \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}y_1 = \eta_1, m = m_1\big ] \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{\eta_1} p_{y_2 \hspace{0.01cm} \vert\hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}m_1)\,\,{\rm d} \eta_2= 1 - {\rm exp } \big [ - {\eta_1^2 }/({2 \sigma_n^2})\big ] = 1 - a \hspace{0.2cm}{\rm(Abk\ddot{u}rzung)} \hspace{0.05cm}.\]

(4)   Gesucht ist nun der Ausdruck  $(1 -a)^{M-1}$,  für den mit der Abkürzung aus  (3)  gilt:

\[ (1-a)^{M-1} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i } \cdot (-1)^i \cdot a^i = \sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i } \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{i \cdot \eta_1^2 }{2 \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm}.\]

(5)   $y_1$  besitzt konditioniert auf  $m=m_1$  eine  Riceverteilung.  Die Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Entscheidung lässt sich somit in folgende Form bringen:

\[{\rm Pr}({\cal{C} }) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i } \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm exp } \left [ - \frac{i \cdot \eta_1^2 }{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot \frac{\eta_1}{ \sigma_n^2}\cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta_1^2 + E_{\rm S} }{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta_1 \cdot \sqrt{E_{\rm S} } }{ \sigma_n^2}\right ] \,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]

(6)   Durch Substitutionen gelingt es,  den Integranden gemäß der Riceverteilung zu gestalten.  Da sich jede Wahrscheinlichkeitsdichte zu Eins integriert,  erhält man:

\[{\rm Pr}({\cal{C} }) = \sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i } \cdot \frac{1}{i+1} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{i \cdot E_{\rm S} } {(i+1) \cdot N_0}\right ] \hspace{0.05cm}\hspace{0.5cm} \text{mit}\hspace{0.5cm} E_{\rm S} = E_{\rm B} \cdot {\rm log_2}(M)\hspace{0.05cm}.\]

(7)   Der Sonderfall  $M = 2$  führt zum genau gleichen Ergebnis,  wie für die binäre FSK berechnet:

\[{\rm Pr}({\cal{C} }) = (-1)^0 \cdot {2-1 \choose 0 } \cdot \frac{1}{0+1} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{0 \cdot E_{\rm S} } {(i+1) \cdot N_0}\right ] + (-1)^1 \cdot {2-1 \choose 1 } \cdot \frac{1}{1+1} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{1 \cdot E_{\rm S} } {(i+1) \cdot N_0}\right ] \]

\[ \Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Pr}({\cal{C} }) = 1 - {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Pr}({\cal{E} }) = 1 - {\rm Pr}({\cal{C} }) = {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)} \hspace{0.05cm}.\]

$\text{q.e.d.}$

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.17: Nichtkohärentes On-Off-Keying

Aufgabe 4.17Z: Rayleigh- und Riceverteilung

Aufgabe 4.18: Nichtkohärente_FSK–Demodulation

Aufgabe 4.18Z: BER von kohärenter und nichtkohärenter FSK

Aufgabe 4.19: Orthogonale mehrstufige FSK