Aufgabe 4.3Z: Diracförmige 2D-WDF

Betrachtete diracförmige 2D-WDF

In der Grafik ist die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{xy}(x, y)$ der zwei diskreten Zufallsgrößen $x$ und $y$ dargestellt.

Diese 2D–WDF besteht aus acht Diracpunkten, durch Kreuze markiert. Die Zahlenwerte geben die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an.
Es ist zu erkennen, dass sowohl $x$ als auch $y$ alle ganzzahligen Werte zwischen den Grenzen $-2$ und $+2$ annehmen können.
Die Varianzen der beiden Zufallsgrößen sind wie folgt gegeben: $\sigma_x^2 = 2$, $\sigma_y^2 = 1.4$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Momente einer diskreten Zufallsgröße

Fragebogen

	Die Wahrscheinlichkeiten für $-2$, $-1$, $0$, $+1$ und $+2$ sind gleich.
	Die Zufallsgröße $x$ ist mittelwertfrei $(m_x = 0)$.
	Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(x \le 1)$ ist $0.9$.

	Die Wahrscheinlichkeiten für $-2$, $-1$, $0$, $+1$ und $+2$ sind gleich.
	Die Zufallsgröße $y$ ist mittelwertfrei $(m_y = 0)$.
	Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(y \le 1)$ ist $0.9$.

$F_{xy}(+1, +1) \ = \ $

${\rm Pr}(x ≤ 1\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}y ≤ 1)\ = \ $

$m_{xy}\ = \ $

$\rho_{xy}\ = \ $

$\theta_{y\hspace{0.05cm}→\hspace{0.05cm} x}\ = \ $

$\ \rm Grad$

	Die Zufallsgrößen $x$ und $y$ sind statistisch unabhängig.
	Man erkennt bereits aus der vorgegebenen 2D-WDF, dass $x$ und $y$ statistisch voneinander abhängen.
	Aus dem berechneten Korrelationskoeffizienten $\rho_{xy}$ kann man auf die statistische Abhängigkeit zwischen $x$ und $y$ schließen.

Musterlösung

(1) Richtig sind die beiden ersten Antworten:

Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$ erhält man aus der 2D–WDF $f_{xy}(x, y)$ durch Integration über $y$.
Für alle möglichen Werte $ x \in \{-2, -1, 0, +1, +2\}$ sind die Wahrscheinlichkeiten gleich $0.2$.
Es gilt ${\rm Pr}(x \le 1)= 0.8$ und der Mittelwert ist $m_x = 0$.

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Durch Integration über $x$ erhält man die rechts skizzierte WDF $f_{y}(y)$.
Aufgrund der Symmetrie ergibt sich der Mittelwert $m_y = 0$.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(y \le 1)= 0.9$.

(3) Definitionsgemäß gilt: $$F_{xy}(r_x, r_y) = \rm Pr((\it x \le r_x)\cap(\it y\le r_y)).$$

Für $r_x = r_y = 1$ folgt daraus: $$F_{xy}(+1, +1) = {\rm Pr}((x \le 1)\cap(y\le 1)).$$

Wie aus der 2D–WDF auf der Angabenseite zu ersehen, ist diese Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}((x \le 1)\cap(y\le 1))\hspace{0.15cm}\underline{=0.8}$.

(4) Hierfür kann mit dem Satz von Bayes auch geschrieben werden: $$ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = \frac{ \rm Pr((\it x \le \rm 1)\cap(\it y\le \rm 1))}{ \rm Pr(\it y\le \rm 1)} = \it \frac{F_{xy}(\rm 1, \rm 1)}{F_{y}(\rm 1)}.$$

Mit den Ergebnissen aus (2) und (3) folgt daraus $ \rm Pr(\it x \le \rm 1)\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} \it y \le \rm 1) = 0.8/0.9 = 8/9 \hspace{0.15cm}\underline{=0.889}$.

(5) Entsprechend der Definition gilt für das gemeinsame Moment: $$m_{xy} = {\rm E}[x\cdot y] = \sum\limits_{i} {\rm Pr}( x_i \cap y_i)\cdot x_i\cdot y_i. $$

Es verbleiben fünf Diracfunktionen mit $x_i \cdot y_i \ne 0$: $$m_{xy} = \rm 0.1\cdot (-2) (-1) + 0.2\cdot(-1) (-1)+ 0.2\cdot 1\cdot 1 + 0.1\cdot 2\cdot 1+ 0.1\cdot 2\cdot 2\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.2}.$$

(6) Für den Korrelationskoeffizienten gilt: $$\rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x\cdot \sigma_y} = \frac{1.2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{1.4}}\hspace{0.15cm}\underline{=0.717}.$$

Hier ist berücksichtigt, dass wegen $m_x = m_y = 0$ die Kovarianz $\mu_{xy}$ gleich dem Moment $m_{xy}$ ist.

Die Gleichung der Korrelationsgeraden lautet: $$y=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot \rho_{xy}\cdot x = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x^{\rm 2}}\cdot x = \rm 0.6\cdot \it x.$$

Im Bild ist die Gerade $y = K(x)$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen Korrelationsgerade und $x$-Achse beträgt $\theta_{y\hspace{0.05cm}→\hspace{0.05cm} x} = \arctan(0.6) \hspace{0.15cm}\underline{=31^\circ}.$

(7) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Bei statistischer Unabhängigkeit müsste $f_{xy}(x, y) = f_{x}(x) \cdot f_{y}(y)$ gelten, was hier nicht erfüllt ist.
Aus der Korreliertheit (folgt aus $\rho_{xy} \ne 0$) kann direkt auf die statistische Abhängigkeit geschlossen werden, denn Korrelation bedeutet eine Sonderform der statistischen Abhängigkeit, nämlich die lineare statistische Abhängigkeit.