Aufgabe 4.6: Quantisierungskennlinien
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Version vom 10. Januar 2019, 11:18 Uhr von Guenter (Diskussion | Beiträge)
Es wird die nichtlineare Quantisierung betrachtet und es gilt weiterhin das Systemmodell gemäß Aufgabe 4.5.
Die Grafik zeigt zwei Kompressorkennlinien $q_{\rm K}(q_{\rm A})$:
- Rot eingezeichnet ist die sogenannte A–Kennlinie, die vom CCITT (Comité Consultatif International Téléphonique et Télégraphique) für das Standardsystem PCM 30/32 empfohlen wurde. Für $0 ≤ q_{\rm A} ≤ 1$ gilt hier:
- $$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q_{\rm A})} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} \\ \\ \frac{A \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q_{\rm A}} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\frac{1}{A} \le q_{\rm A} \le 1} \hspace{0.05cm}, \\ \\ {q_{\rm A} < \frac{1}{A}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
- Der blau–gestrichelte Kurvenzug gilt für die so genannte 13–Segment–Kennlinie. Diese ergibt sich aus der A–Kennlinie durch stückweise Linearisierung; sie wird in der Aufgabe 4.5 ausführlich behandelt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Pulscodemodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Kompression und Expandierung.
- Für die durchgehend rot gezeichnete A-Kennlinie ist der Quantisierungsparameter $A = 100$ gewählt. Mit dem vom CCITT vorgeschlagenen Wert $A = 87.56$ ergibt sich ein ähnlicher Verlauf.
- Für die beiden weiteren Kurven gilt $A = A_1$ (strich–punktierte Kurve) bzw. $A = A_2$ (punktierte Kurve), wobei für $A_1$ bzw. $A_2$ die beiden möglichen Zahlenwerte $50$ und $200$ vorgegeben sind. In der Teilaufgabe (3) sollen Sie entscheiden, welche Kurve zu welchem Zahlenwert gehört.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Aussagen 2 und 3:
- Eine Signalverfälschung von leisen Tönen oder in Sprachpausen wird subjektiv als störender empfunden als zum Beispiel ein zusätzliches Geräusch bei Heavy Metal.
- Bezüglich des Quantisierungsrauschens bzw. des SNR gibt es durch eine nichtlineare Quantisierung allerdings keine Verbesserung, wenn von einer Gleichverteilung der Amplitudenwerte ausgegangen wird.
- Berücksichtigt man aber, dass bei Sprach– und Musiksignalen kleinere Amplituden sehr viel häufiger auftreten als große ⇒ Laplaceverteilung, so ergibt sich durch die nichtlineare Quantisierung auch ein besseres SNR.
(2) Richtig sind die Aussagen 1 und 2:
- Durch die Linearisierung in den einzelnen Segmenten ist in diesen bei der 13–Segment–Kennlinie die Intervallbreite der verschiedenen Quantisierungsstufen konstant, was sich bei der Realisierung günstig auswirkt.
- Dagegen gibt es bei der nichtlinearen Quantisierung gemäß der A–Kennlinie keine Quantisierungsintervalle gleicher Breite. Das bedeutet: Die Aussage 3 ist falsch.
(3) Richtig ist NEIN:
- Für $q_{\rm A} = 1$ erhält man unabhängig von $A$ den Wert $q_{\rm K} = 1$.
- Allein mit dieser Vorgabe kann $A$ also nicht ermittelt werden.
(4) Richtig ist wiederum NEIN:
- Für $q_{\rm A} = 1/A$ liefern beide Bereichsgleichungen den gleichen Wert $q_{\rm K}= 1/[1 + \ln(A)]$.
- Auch damit kann $A$ nicht bestimmt werden.
(5) Mit dieser Forderung ist $A$ nun berechenbar:
- $$0.875 = \frac{1 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A/2)} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} = \frac{1\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} {\rm ln}(2) \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A)} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )}\approx \frac{1-0.693 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A)} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm ln}(A) = \frac{0.875 - 0.307 } {1 -0.875 }= 4.544 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A \hspace{0.15cm}\underline {\approx 94} \hspace{0.05cm}.$$
(6) Richtig ist die Aussage 2:
- Die Kurve für $A_1 = 200$ liegt oberhalb der Kurve mit $A = 100$, die Kurve mit $A_2 = 50$ unterhalb.
- Dies zeigt die folgende Rechnung für $q_{\rm A} = 0.5$:
- $$A= 100\text{:}\hspace{0.2cm} q_{\rm K}= \frac{1 + \ln(100) - \ln(2)}{1 + \ln(100)}= \frac{1+4.605- 0.693} {1 +4.605}\approx 0.876 \hspace{0.05cm},$$
- $$A= 200\text{:}\hspace{0.2cm} q_{\rm K}= \frac{1+5.298- 0.693} {1 +5.298}\approx 0.890 \hspace{0.05cm},$$
- $$A= 50\text{:}\hspace{0.4cm} q_{\rm K}= \frac{1+3.912- 0.693} {1 +3.912}\approx 0.859 \hspace{0.05cm}.$$