Aufgabe 3.6: Partitionierungsungleichung

Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X$, $Q_X$

Die Kullback–Leibler–Distanz (kurz KLD) wird auch in der „Partitionierungsungleichung” (englisch: "Partition Unequality") verwendet:

Wir gehen von der Menge $X = \{ x_1, \hspace{0.15cm} x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} x_M \}$ und den Wahrscheinlichkeitsfunktionen

$$P_X(X) = P_X ( x_1, \hspace{0.15cm} x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} x_M )\hspace{0.05cm},$$

$$Q_X(X) =Q_X ( x_1, \hspace{0.15cm} x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} x_M ), $$

aus, die „in irgendeiner Form ähnlich” sein sollen.

Die Menge $X$ unterteilen wir in die Partitionen $A_1, \text{...} , A_K$, die zueinander disjunkt sind und ein vollständiges System ergeben:

$$\bigcup_{i=1}^{K} = X, \hspace{0.5cm} A_i \cap A_j = {\it \phi} \hspace{0.25cm}\text{für}\hspace{0.25cm} 1 \le i \ne j \le K .$$

Die Wahrscheinlichkeitsfunktionen bezüglich der Partitionierungen $A_1,\ A_2, \text{...} ,\ A_K$ bezeichnen wir im Folgenden mit

$$P_X^{\hspace{0.15cm}(A)} = \big [ P_X ( A_1 )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm},P_X ( A_K ) \big ],\hspace{0.05cm}\hspace{0.5cm}{\rm wobei}\hspace{0.15cm} P_X ( A_i ) = \sum_{ x \in A_i} P_X ( x )\hspace{0.05cm},$$

$$Q_X^{\hspace{0.15cm}(A)}= \big [ Q_X ( A_1 )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm},Q_X ( A_K ) \big ],\hspace{0.05cm}\hspace{0.40cm}{\rm wobei}\hspace{0.15cm} Q_X ( A_i ) = \sum_{ x \in A_i} Q_X ( x )\hspace{0.05cm}. $$

$\text{Bitte beachten Sie:}$ Die Partitionierungsungleichung liefert hinsichtlich der Kullback–Leibler–Distanzen folgende Größenrelation:

$$D(P_X^{\hspace{0.15cm}(A)} \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{\hspace{0.15cm}(A)}) \hspace{0.25cm}\le \hspace{0.25cm}D(P_X \hspace{0.05cm}\vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X) \hspace{0.05cm}.$$

In Teilaufgabe (1) soll die Kullback–Leibler–Distanz der beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $Q_X(X)$ für $X = \{0,\ 1,\ 2\}$ ⇒ $|X| = 3$ ermittelt werden.

Danach soll die Menge $X$ mit $K = 2$ partitioniert werden entsprechend

$A = \{A_1 ,\ A_2\}$ mit $A_1 =\{0\}$ und $A_2 = \{ 1,\ 2 \}$ ,
$B = \{B_1 ,\ B_2\}$ mit $B_1 =\{1\}$ und $B_2 = \{ 0,\ 2 \}$,
$C = \{C_1 ,\ C_2\}$ mit $C_1 =\{2\}$ und $C_2 = \{ 0,\ 1\}$,

Anschließend sollen die jeweiligen Kullback–Leibler–Distanzen angegeben werden:

$D(P_X^{ (A) } \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{ (A) } )$,
$D(P_X^{ (B) } \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{ (B) } )$,
$D(P_X^{ (C) } \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{ (C) } )$.

In der Teilaufgabe (5) wird schließlich nach den Bedingungen gefragt, die erfüllt sein müssen, damit in der obigen Ungleichung das Gleichheitszeichen zutrifft.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Vorbemerkungen zu zweidimensionalen Zufallsgrößen.
Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Relative Entropie – Kullback-Leibler-Distanz.

Die beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen können aus obiger Grafik wie folgt abgelesen werden:

$$P_X(X) = \big [1/4 , \ 1/2 , \ 1/4 \big ],\hspace{0.5cm} Q_X(X) = \big [1/8, \ 3/4, \ 1/8 \big].$$

Fragebogen

$ D(P_X \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X) \ = \ $

$\ \rm bit$

$D(P_X^{ (A) } \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{ (A) } ) \ = \ $

$\ \rm bit$

$D(P_X^{ (B) } \hspace{0.05cm} \vert \vert \hspace{0.05cm} Q_X^{ (B) } ) \ = \ $

$\ \rm bit$

	Das gleiche Ergebnis wie für die Partitionierung $A$.
	Das gleiche Ergebnis wie für die Partitionierung $B$.
	Ein ganz anderes Ergebnis.

	Es müssen $\|X\|$ Gleichungen erfüllt sein.
	Für alle Mengenelemente $x \in A_i$ muss gelten: $P_X(x)/Q_X(x) = P_X(A_i)/ Q_X(A_i)$.

Musterlösung

(1) Für die Kullback–Leibler–Distanz der nicht partitinierten Mengen $X$ und $Y$ gilt:

$$D(P_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}P_Y) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(X)}{P_Y(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{x \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}X} P_X(x) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(x)}{P_Y(x)}$$

$$\Rightarrow D(P_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}P_Y) = \hspace{-0.15cm} \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/2}{3/4} + 2 \cdot \frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/4}{1/8} = \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) = 1- \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (3) \hspace{0.15cm} \underline {=0.2075\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

(2) Mit der $\text{Partitionierung A}$ ⇒ $A_1 = \{0\}$ , $A_2 = \{ 1 , 2 \}$ erhält man $P_X^{ (A) } (X) = \{1/4 , \ 3/4\}$ und $Q_X^{ (A) } (X) = \{1/8 , \ 7/8\}$. Daraus folgt:

$$D(P_X^{\hspace{0.15cm}(A)} \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} Q_X^{\hspace{0.15cm}(A)}) = \frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/4}{1/8} + \frac{3}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{3/4}{7/8} =\frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) + \frac{3}{4}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{6}{7} \hspace{0.15cm} \underline {=0.0832\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Mit der $\text{Partitionierung B}$ ⇒ $B_1 = \{1\}$ , $B_2 = \{ 0 ,\ 2 \}$ lauten die Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X^{ (B) } (X) = \{1/2 , \ 1/2\}$ und $Q_X^{ (B) } (X) = \{3/4 , \ 1/4\}$.

Analog zur Teilaufgabe (2) erhält man so:

$$D(P_X^{\hspace{0.15cm}(B)} \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} Q_X^{\hspace{0.15cm}(B)}) = \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/2}{3/4} + \frac{1}{2}\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1/2}{1/4} \hspace{0.15cm} \underline {=0.2075\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$

Das Ergebnis stimmt mit dem der Teilaufgabe (1) überein ⇒ Bei der $\text{Partitionierung B}$ gilt das Gleichheitszeichen.

(4) Mit der $\text{Partitionierung C}$ ⇒ $C_1 = \{2\}$ , $C_2 = \{ 0 , \ 1\}$ erhält man $P_X^{ (C) } (X) = \{1/4, \ 3/4\}$ , $Q_X^{ (C) } (X) = \{1/8, \ 7/8\}$,
also die gleichen Funktionen wie bei der $\text{Partitionierung A}$ ⇒ Lösungsvorschlag 1.

(5) Die $\text{Partitionierung B}$ hat zum Ergebnis $D(P_X^{ (B) } \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}Q_X^{ (B) } ) = D(P_X \hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}Q_X)$ geführt.

Für diesen Fall ist also

$$\frac{P_X(1)}{Q_X(1)} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}, \ \frac{P_X(B_1)}{Q_X(B_1)} = \frac{1/2}{3/4} = {2}/{3},$$

$$\frac{P_X(0)}{Q_X(0)} = \frac{1/4}{1/8} = 2, \ \frac{P_X(B_2)}{Q_X(B_2)} = \frac{1/2}{1/4} = 2,$$

$$\frac{P_X(2)}{Q_X(2)} = \frac{1/4}{1/8} = 2, \ \frac{P_X(B_2)}{Q_X(B_2)} = \frac{1/2}{1/4} = 2.$$

Es muss demnach für alle $x \in X$ gelten:

$$\frac{P_X(x)}{Q_X(x)} = \frac{P_X(B_1)}{Q_X(B_1)}, \text{falls } x \in B_1, \hspace{0.5cm}\frac{P_X(x)}{Q_X(x)} = \frac{P_X(B_2)}{Q_X(B_2)}, \text{falls } x \in B_2.$$

Durch Verallgemeinerung erkennt man, dass beide Lösungsvorschläge richtig sind.