Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle
Inhaltsverzeichnis
Anwendung analoger Kanalmodelle
Für Untersuchungen von Nachrichtenübertragungssystemen sind geeignete Kanalmodelle von großer Wichtigkeit, weil diese
- Voraussetzung für eine Systemsimulation und –optimierung sind, sowie
- gleichbleibende und rekonstruierbare Randbedingungen schaffen.
Für die Digitalsignalübertragung gibt es sowohl analoge als auch digitale Kanalmodelle: Ein analoges Kanalmodell muss zwar den Übertragungskanal nicht in allen physikalischen Einzelheiten wiedergeben, sollte jedoch dessen Übertragungsverhalten inklusive der dominanten Störgrößen funktionell ausreichend genau beschreiben. Meist muss ein Kompromiss zwischen mathematischer Handhabbarkeit und dem Bezug zur Realität gefunden werden.
Ein Sonderfall dieses Modells ist der so genannte AWGN–Kanal (Additive White Gaussian Noise) mit den Systemeigenschaften
\[H_{\rm K}(f) = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\it \Phi}_{n}(f) = {\rm const.}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {f}_{n}(n) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma} \cdot {\rm e}^{-n^2\hspace{-0.05cm}/(2 \sigma^2)}\hspace{0.05cm}.\]
Dieses einfache Modell eignet sich zum Beispiel zur Beschreibung eines Funkkanals mit zeitinvariantem Verhalten, wobei das Kanalmodell dahingehend abstrahiert ist, dass
- der eigentlich bandpassartige Kanal im äquivalenten Tiefpassbereich beschrieben wird, und
- die vom Frequenzband und der Übertragungsweglänge abhängige Dämpfung mit der Varianz σ2 des Rauschsignals n(t) verrechnet wird.
Zur Berücksichtigung zeitvarianter Eigenschaften muss man andere Modelle wie Rayleigh–, Rice– und Lognormal–Fading verwenden, die im Buch „Mobile Kommunikation” beschrieben werden.
Bei leitungsgebundenen Übertragungssystemen ist insbesondere der spezifische Frequenzgang des Übertragungsmediums entsprechend den Angaben in Kapitel 4.2 (Koaxialkabel) und Kapitel 4.3 (Zweidrahtleitung) des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” zu berücksichtigen, aber auch, dass aufgrund von Fremdstörungen (Nebensprechen, elektromagnetische Felder, usw.) nicht mehr von Weißem Rauschen ausgegangen werden kann.
Definition digitaler Kanalmodelle (1)
Ein analoges Kanalmodell zeichnet sich durch analoge Eingangs– und Ausgangsgrößen aus. Dagegen sind bei einem digitalen Kanalmodell (manchmal auch als „diskret” bezeichnet) sowohl der Eingang als auch der Ausgang zeit– und wertdiskret. Im Folgenden seien dies die Quellensymbolfolge 〈qν〉 ∈ {L, H} und die Sinkensymbolfolge 〈υν〉 ∈ {L, H}. Die Laufvariable ν kann Werte zwischen 1 und N annehmen.
Wie ein Vergleich mit dem Blockschaltbild auf der letzten Seite zeigt, ist der Digitale Kanal ein vereinfachendes Modell des analogen Übertragungskanals einschließlich der technischen Sende– und Empfangseinrichtungen. Vereinfachend deshalb, weil dieses Modell sich lediglich auf die auftretenden Übertragungsfehler bezieht, dargestellt durch die Fehlerfolge 〈eν〉 mit
\[e_{\nu} = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm}\upsilon_\nu \ne q_\nu \hspace{0.05cm}, \\ {\rm falls}\hspace{0.15cm} \upsilon_\nu = q_\nu \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}\]
Während L und H die möglichen Symbole bezeichnen, die hier für Low und High stehen, ist eν ∈ {0, 1} ein reeller Zahlenwert. Oft werden die Symbole auch als qν ∈ {0, 1} und υν ∈ {0, 1}definiert. Um Verwechslungen zu vermeiden, haben wir hier die etwas ungewöhnliche Nomenklatur verwendet.
Die in der Grafik angegebene Fehlerfolge 〈eν〉
- ergibt sich durch den Vergleich der beiden Binärfolgen 〈qν〉 und 〈υν〉,
- beinhaltet nur Informationen über die Abfolge der Übertragungsfehler und damit im Allgemeinen weniger Information als ein analoges Kanalmodell,
- wird zweckmäßigerweise durch einen Zufallsprozess mit nur wenigen Parametern angenähert.
Die Fehlerfolge 〈eν〉 erlaubt Aussagen über die Fehlerstatistik, zum Beispiel ob es sich um so genannte
- statistisch unabhängige Fehler, oder
- Bündelfehler
handelt. Das folgende Beispiel soll diese beiden Fehlerarten verdeutlichen.
Definition digitaler Kanalmodelle (2)
Beispielhafte Anwendung von digitalen Kanalmodellen
Digitale Kanalmodelle finden vorzugsweise Anwendung bei einer kaskadierten Übertragung, wie in der folgenden Grafik dargestellt.
Man erkennt aus dieser Darstellung:
- Das innere Übertragungssystem – bestehend aus Modulator, Analogkanal, Störung, Demodulator, Empfangsfilter, Entscheider und Taktrückgewinnung – ist im blau markierten Block „Digitaler Kanal” zusammengefasst.
- Dieser innere Block wird auschließlich durch seine Fehlerfolge 〈e'ν〉 charakterisiert, die sich auf die Symbolfolgen 〈cν〉 und 〈wν〉 bezieht. Es ist offensichtlich, dass dieses digitale Kanalmodell weniger Informationen liefert als ein detailliertes Analogmodell unter Berücksichtigung aller Komponenten.
- Dagegen bezieht sich die „äußere” Fehlerfolge 〈eν〉 auf die Quellensymbolfolge 〈qν〉 sowie die Sinkensymbolfolge 〈υν〉 und damit auf das Gesamtsystem einschließlich der spezifischen Codierung und des empfängerseitigen Decoders.
- Der Vergleich der beiden Fehlerfolgen mit und ohne Berücksichtigung von Coder/Decoder erlaubt Rückschlüsse auf die Effizienz des zugrundeliegenden Codierverfahrens. Dieses ist dann und nur dann sinnvoll, wenn der äußere Komparator im Mittel weniger Fehler anzeigt als der innere.
Fehlerfolge und Fehlerkorrelationsfunktion
Das Übertragungsverhalten eines Binärsystems wird durch die Fehlerfolge 〈eν〉 vollständig beschrieben:
\[e_{\nu} = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm}\upsilon_\nu \ne q_\nu \hspace{0.05cm}, \\ {\rm falls}\hspace{0.15cm} \upsilon_\nu = q_\nu \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}\]
Hieraus lässt sich die (mittlere) Bitfehlerwahrscheinlichkeit wie folgt berechnen:
\[p_{\rm M} = {\rm E}[e] = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{\nu = 1}^{N}e_{\nu}\hspace{0.05cm}.\]
Vorausgesetzt ist hierbei, dass der die Fehlentscheidungen erzeugende Zufallsprozess stationär und ergodisch ist, so dass man die Fehlerfolge 〈eν〉 formal auch durch die Zufallsgröße e ∈ {0, 1} vollständig beschreiben kann. Der Übergang von der Zeit– zur Scharmittelung ist also zulässig.
Hinweis: In allen anderen Büchern von LNTwww wird die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit pB bezeichnet. Zur Vermeidung von Verwechslungen im Zusammenhang mit dem Gilbert–Elliott–Modell ist diese hier vorgenommene Umbenennung unvermeidbar und wir sprechen nachfolgend nicht mehr von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit, sondern nur noch von der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit pM.
Eine wichtige Beschreibungsgröße der digitalen Kanalmodelle ist die Fehlerkorrelationsfunktion – abgekürzt FKF – gemäß folgender Definition:
\[\varphi_{e}(k) = {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}] = \overline{e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}}\hspace{0.05cm}.\]
Für diese gilt:
- φe(k) gibt die (zeitdiskrete) Autokorrelationsfunktion der ebenfalls zeitdiskreten Zufallsgröße e an. Die überstreichende Linie in der rechten Gleichung kennzeichnet die Zeitmittelung.
- Der Fehlerkorrelationswert φe(k) liefert statistische Aussagen bezüglich zwei um k auseinander liegende Folgenelemente, zum Beispiel über eν und eν+k. Die dazwischen liegenden Elemente eν+1, ... , eν+k–1 beeinflussen den φe(k)–Wert nicht.
- Bei stationren Folgen gilt unabhängig von der der Fehlerstatistik wegen e ∈ {0, 1} stets:
\[\varphi_{e}(k = 0) = {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu}] = {\rm E}[e^2]= {\rm E}[e]= {\rm Pr}(e = 1)= p_{\rm M}\hspace{0.05cm},\] \[\varphi_{e}(k \rightarrow \infty) = {\rm E}[e_{\nu}] \cdot {\rm E}[e_{\nu + k}] = p_{\rm M}^2\hspace{0.05cm}.\]
- Die Fehlerkorrelationsfunktion ist eine zumindest schwach abfallende Funktion. Je langsamer der Abfall der FKF–Werte erfolgt, desto länger ist das Gedächtnis des Kanals und um so weiter reichen die statistischen Bindungen der Fehlerfolge.
