Binary Symmetric Channel (BSC)

Fehlerkorrelationsfunktion des BSC–Modells

Die linke Grafik zeigt mit dem BSC–Modell das einfachste Modell eines digitalen Übertragungssystems.

Der Name steht für Binary Symmetric Channel und besagt, dass dieses Modell nur bei Binärsystemen mit symmetrischen Verfälschungseigenschaften angewendet werden kann. Weiter gilt:

Das BSC–Modell eignet sich für die Untersuchung und Erzeugung einer Fehlerfolge mit statistisch unabhängigen Fehlern. Man nennt einen solchen Kanal auch gedächtnisfrei und es existiert nur ein einziger Kanalzustand.
Die beiden Symbole (zum Beispiel L und H) werden jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p verfälscht, so dass auch die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit p_M gleich p ist, und zwar unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten p_L und p_H.

Die rechte Grafik zeigt die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF)

\[\varphi_{e}(k) = {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}] = \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.25cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.25cm} k > 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}\]

Bitte beachten Sie:

Beim BSC–Modell wird also der FKF–Endwert (Quadrat der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit), der bei anderen Modellen erst für k → ∞ gültig ist, bereits bei k = 1 exakt erreicht.

Das BSC–Modell gehört zur Klasse der erneuernden Kanalmodelle (Renewal Channels). Bei einem erneuernden Kanalmodell sind die Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig und die Fehlerkorrelationsfunktion kann in einfacher Weise iterativ berechnet werden:

\[\varphi_{e}(k) = \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa) \cdot \varphi_{e}(k - \kappa) \hspace{0.05cm}.\]

Fehlerabstandsverteilung des BSC–Modells

Betrachten wir nun die Fehlerabstandsverteilung (FAV). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehlerabstand a = k ergibt sich aus der Bedingung von k – 1 fehlerfreien Symbolen und eines Übertragungsfehlers zum Zeitpunkt ν + k, vorausgesetzt, dass zum Zeitpunkt ν ein Fehler aufgetreten ist. Man erhält:

\[{\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm}.\]

Daraus folgt:

Der Fehlerabstand a = 1 tritt beim BSC–Modell stets mit der größten Wahrscheinlichkeit auf, und zwar für jeden Wert von p.
Dieser Sachverhalt ist auf den ersten Blick etwas überraschend. Mit p = 0.01 ergibt sich zum Beispiel der mittlere Fehlerabstand E[a] = 100. Trotzdem sind zwei aufeinanderfolgende Fehler (a = 1) um den Faktor 0.99⁹⁹ ≈ 2.7 wahrscheinlicher als der Fehlerabstand a = 100.

Die Fehlerabstandsverteilung ergibt sich entsprechend der allgemeinen Definition durch Summation:

\[V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k} (1-p)^{\kappa-1}\cdot p = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.\]

Die linke Grafik zeigt V_a(k) in linearer Darstellung für die Parameter p = 0.1 (blaue Kurve) und p = 0.02 (rote Kurve). Der Abfall erfolgt mit steigendem k exponentiell und ist umso steiler, je kleiner p ist.

Die rechte Grafik zeigt die logarithmische Darstellung. Hier verläuft der Abfall linear entsprechend

\[{\rm lg} \hspace{0.15cm}V_a(k) = (k - 1) \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}(1-p)\hspace{0.05cm}.\]