Aufgabe 1.2: Signalklassifizierung

Vorgegebene Signalverläufe

Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:

Das blaue Signal $x_1(t)$ wird zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet und besitzt für $t > 0$ den Wert $1\,\text{V}$.
Das rote Signal $x_2(t)$ ist für $t < 0$ identisch Null, springt bei $t = 0$ auf $1\,\text{V}$ und fällt danach mit der Zeitkonstanten $1\,\text{ms}$ ab. Für $t > 0$ gilt:

\[x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.\]

Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten $t$:

\[x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/(1\,\text{ms})}.\]

Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:

deterministisch bzw. stochastisch,
kausal bzw. akausal,
energiebegrenzt bzw. leistungsbegrenzt,
wertkontinuierlich bzw. wertdiskret,
zeitkontinuierlich bzw. zeitdiskret.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Klassifizierung von Signalen.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Zutreffend sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch.
Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten $t$ eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
Die Signalamplituden von $x_2(t)$ und $x_3(t)$ können alle beliebigen Werte zwischen $0$ und $1\,\text{V}$ annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich.
Dagegen sind beim Signal $x_1(t)$ nur die zwei Signalwerte $0$ und $1\,\text{V}$ möglich, und es liegt ein wertdiskretes Signal vor.

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten $t < 0$ nicht existiert bzw. identisch $0$ ist. Dies gilt für die Signale $x_1(t)$ und $x_2(t)$.
Dagegen gehört $x_3(t)$ zur Klasse der akausalen Signale.

(3) Nach der allgemeinen Definition gilt:

\[E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t.\]

Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze $0$ und die obere Integrationsgrenze $+\infty$. Man erhält:

\[E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}. \]

Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein. Daraus folgt $P_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.

(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt $x_2(t)$ eine endliche Energie:

$$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}. $$

Die Energie des Signals $x_3(t)$ ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich $t < 0$ den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich $t > 0$. Also ist

$$E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.$$

Beim Signal $x_1(t)$ divergiert das Energieintegral: $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf ⇒ $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$ und ist dementsprechend leistungsbegrenzt.
Das Ergebnis berücksichtigt, dass das Signal $x_1(t)$ in der Hälfte der Zeit ($t < 0$) identisch $0$ ist.

	Alle hier betrachteten Signale sind deterministisch.
	Alle hier betrachteten Signale sind von stochastischer Natur.
	Es handelt sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
	Es handelt sich stets um wertkontinuierliche Signale.

	\(x_1(t)\),
	\(x_2(t)\),
	\(x_3(t)\).

	\(x_1(t)\),
	\(x_2(t)\),
	\(x_3(t)\).