Korrelation und Regressionsgerade
Inhaltsverzeichnis
Programmbeschreibung
In diesem Applet werden binäre $(M=2)$ und ternäre $(M=3)$ Kanalmodelle ohne Gedächtnis betrachtet mit jeweils $M$ Eingängen $X$ und $M$ Ausgängen $Y$. Ein solches Nachrichtensystem ist durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$ und die Matrix $P_{\hspace{0.01cm}Y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.01cm}X}(Y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.03cm} X)$ der Übergangswahrscheinlichkeiten vollständig bestimmt.
Für diese binären bzw. ternären Systeme werden folgende informationstheoretische Beschreibungsgrößen hergeleitet und verdeutlicht:
- die Quellenentropie $H(X)$ und die Sinkenentropie $H(Y)$,
- die Äquivokation („Rückschlussentropie”) $H(X|Y)$ und die Irrelevanz („Streuentropie”) $H(Y|X)$,
- die Verbundentropie $H(XY)$ sowie die Transinformation (englisch: Mutual Information) $I(X; Y)$,
- die Kanalkapazität als die entscheidende Kenngröße digitaler Kanalmodelle ohne Gedächtnis:
- $$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$
Diese informationstheoretische Größen können sowohl in analytische geschlossener Form berechnet oder durch Auswertung von Quellen– und Sinkensymbolfolge simulativ ermittelt werden.
Theoretischer Hintergrund
Erwartungswerte zweidimensionaler Zufallsgrößen
Ein Sonderfall der statistischen Abhängigkeit ist die Korrelation.
$\text{Definition:}$ Unter Korrelation versteht man eine lineare Abhängigkeit zwischen den Einzelkomponenten $x$ und $y$.
- Korrelierte Zufallsgrößen sind damit stets auch statistisch abhängig.
- Aber nicht jede statistische Abhängigkeit bedeutet gleichzeitig eine Korrelation.
Zur quantitativen Erfassung der Korrelation verwendet man verschiedene Erwartungswerte der 2D-Zufallsgröße $(x, y)$.
Diese sind analog definiert zum eindimensionalen Fall
- gemäß Kapitel 2 (bei wertdiskreten Zufallsgrößen)
- bzw. Kapitel 3 (bei wertkontinuierlichen Zufallsgrößen):
$\text{Definition:}$ Für die (nichtzentrierten) Momente gilt die Beziehung:
- $$m_{kl}={\rm E}\big[x^k\cdot y^l\big]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}\int_{-\infty}^{+\infty} x\hspace{0.05cm}^{k} \cdot y\hspace{0.05cm}^{l} \cdot f_{xy}(x,y) \, {\rm d}x\, {\rm d}y.$$
Die beiden linearen Mittelwerte sind somit $m_x = m_{10}$ und $m_y = m_{01}.$
$\text{Definition:}$ Die auf $m_x$ bzw. $m_y$ bezogenen Zentralmomente lauten:
- $$\mu_{kl} = {\rm E}\big[(x-m_{x})\hspace{0.05cm}^k \cdot (y-m_{y})\hspace{0.05cm}^l\big] .$$
In dieser allgemein gültigen Definitionsgleichung sind die Varianzen $σ_x^2$ und $σ_y^2$ der zwei Einzelkomponenten durch $\mu_{20}$ bzw. $\mu_{02}$ mit enthalten.
$\text{Definition:}$ Besondere Bedeutung besitzt die Kovarianz $(k = l = 1)$, die ein Maß für die lineare statistische Abhängigkeit zwischen den Zufallsgrößen $x$ und $y$ ist:
- $$\mu_{11} = {\rm E}\big[(x-m_{x})\cdot(y-m_{y})\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_{x}) \cdot (y-m_{y})\cdot f_{xy}(x,y) \,{\rm d}x \, {\rm d}y .$$
Im Folgenden bezeichnen wir die Kovarianz $\mu_{11}$ teilweise auch mit $\mu_{xy}$, falls sich die Kovarianz auf die Zufallsgrößen $x$ und $y$ bezieht.
Anmerkungen:
- Die Kovarianz $\mu_{11}=\mu_{xy}$ hängt wie folgt mit dem nichtzentrierten Moment $m_{11} = m_{xy} = {\rm E}\big[x · y\big]$ zusammen:
- $$\mu_{xy} = m_{xy} -m_{x }\cdot m_{y}.$$
- Diese Gleichung ist für numerische Auswertungen enorm vorteilhaft, da $m_{xy}$, $m_x$ und $m_y$ aus den Folgen $〈x_v〉$ und $〈y_v〉$ in einem einzigen Durchlauf gefunden werden können.
- Würde man dagegen die Kovarianz $\mu_{xy}$ entsprechend der oberen Definitionsgleichung berechnen, so müsste man in einem ersten Durchlauf die Mittelwerte $m_x$ und $m_y$ ermitteln und könnte dann erst in einem zweiten Durchlauf den Erwartungswert ${\rm E}\big[(x - m_x) · (y - m_y)\big]$ berechnen.
$\text{Beispiel 4:}$ In den beiden ersten Zeilen der Tabelle sind die jeweils ersten Elemente zweier Zufallsfolgen $〈x_ν〉$ und $〈y_ν〉$ eingetragen. In der letzten Zeile sind die jeweiligen Produkte $x_ν · y_ν$ angegeben.
- Durch Mittelung über die jeweils zehn Folgenelemente erhält man
- $$m_x =0.5,\ \ m_y = 1, \ \ m_{xy} = 0.69.$$
- Daraus ergibt sich direkt der Wert für die Kovarianz:
- $$\mu_{xy} = 0.69 - 0.5 · 1 = 0.19.$$
Ohne Kenntnis der Gleichung $\mu_{xy} = m_{xy} - m_x · m_y$ hätte man zunächst im ersten Durchlauf die Mittelwerte $m_x$ und $m_y$ ermitteln müssen,
um dann in einem zweiten Durchlauf die Kovarianz $\mu_{xy}$ als Erwartungswert des Produkts der mittelwertfreien Größen bestimmen zu können.
Korrelationskoeffizient
Bei statististischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten $x$ und $y$ ist die Kovarianz $\mu_{xy} \equiv 0$. Dieser Fall wurde bereits im $\text{Beispiel 2}$ auf der Seite WDF und VTF bei statistisch unabhängigen Komponenten betrachtet.
- Das Ergebnis $\mu_{xy} = 0$ ist aber auch bei statistisch abhängigen Komponenten $x$ und $y$ möglich, nämlich dann, wenn diese unkorreliert, also linear unabhängig sind.
- Die statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster, sondern von höherer Ordnung, zum Beispiel entsprechend der Gleichung $y=x^2.$
Man spricht von vollständiger Korrelation, wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen $x$ und $y$ durch die Gleichung $y = K · x$ ausgedrückt wird. Dann ergibt sich für die Kovarianz:
- $\mu_{xy} = σ_x · σ_y$ bei positivem Wert von $K$,
- $\mu_{xy} = - σ_x · σ_y$ bei negativem $K$–Wert.
Deshalb verwendet man häufig als Beschreibungsgröße anstelle der Kovarianz den so genannten Korrelationskoeffizienten.
$\text{Definition:}$ Der Korrelationskoeffizient ist der Quotient aus der Kovarianz $\mu_{xy}$ und dem Produkt der Effektivwerte $σ_x$ und $σ_y$ der beiden Komponenten:
- $$\rho_{xy}=\frac{\mu_{xy} }{\sigma_x \cdot \sigma_y}.$$
Der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy}$ weist folgende Eigenschaften auf:
- Aufgrund der Normierung gilt stets $-1 \le ρ_{xy} ≤ +1$.
- Sind die beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ unkorreliert, so ist $ρ_{xy} = 0$.
- Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen $x$ und $y$ ist $ρ_{xy}= ±1$ ⇒ vollständige Korrelation.
- Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem $x$–Wert im statistischen Mittel auch $y$ größer ist als bei kleinerem $x$.
- Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass $y$ mit steigendem $x$ im Mittel kleiner wird.
$\text{Beispiel 5:}$ Es gelten folgende Voraussetzungen:
- Die betrachteten Komponenten $x$ und $y$ besitzen jeweils eine gaußförmige WDF.
- Die beiden Streuungen sind unterschiedlich $(σ_y < σ_x)$.
- Der Korrelationskoeffizient beträgt $ρ_{xy} = 0.8$.
Im Unterschied zum Beispiel 2 mit statistisch unabhängigen Komponenten ⇒ $ρ_{xy} = 0$ $($trotz $σ_y < σ_x)$ erkennt man, dass hier bei größerem $x$–Wert im statistischen Mittel auch $y$ größer ist als bei kleinerem $x$.
Korrelationsgerade
$\text{Definition:}$ Als Korrelationsgerade bezeichnet man die Gerade $y = K(x)$ in der $(x, y)$–Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_x, m_y)$. Manchmal wird diese Gerade auch Regressionsgerade genannt.
Die Korrelationsgerade besitzt folgende Eigenschaften:
- Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in $y$–Richtung betrachtet und über alle $N$ Punkte gemittelt – ist minimal:
- $$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
- Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet:
- $$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x - m_x)+m_y.$$
Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur $x$–Achse einnimmt, beträgt:
- $$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{y} }{\sigma_{x} }\cdot \rho_{xy}).$$
Durch diese Nomenklatur soll deutlich gemacht werden, dass es sich hier um die Regression von $y$ auf $x$ handelt.
- Die Regression in Gegenrichtung – also von $x$ auf $y$ – bedeutet dagegen die Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung in $x$–Richtung.
- Das interaktive Applet Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen $($falls $σ_y \ne σ_x)$ für die Regression von $x$ auf $y$ ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:
- $$\theta_{x\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} y}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\cdot \rho_{xy}).$$
Zugrunde liegendes Modell der Digitalsignalübertragung
Die Menge der möglichen Quellensymbole wird durch die diskrete Zufallsgröße $X$ charakterisiert.
- Im binären Fall ⇒ $M_X= |X| = 2$ gilt $X = \{\hspace{0.05cm}{\rm A}, \hspace{0.15cm} {\rm B} \hspace{0.05cm}\}$ mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion $($englisch: Probability Mass Function, $\rm PMF)$ $P_X(X)= \big (p_{\rm A},\hspace{0.15cm}p_{\rm B}\big)$ sowie den Quellensymbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm A}$ und $p_{\rm B}=1- p_{\rm A}$.
- Entsprechend gilt für eine Ternärquelle ⇒ $M_X= |X| = 3$: $X = \{\hspace{0.05cm}{\rm A}, \hspace{0.15cm} {\rm B}, \hspace{0.15cm} {\rm C} \hspace{0.05cm}\}$, $P_X(X)= \big (p_{\rm A},\hspace{0.15cm}p_{\rm B},\hspace{0.15cm}p_{\rm C}\big)$, $p_{\rm C}=1- p_{\rm A}-p_{\rm B}$.
Die Menge der möglichen Sinkensymbole wird durch die diskrete Zufallsgröße $Y$ charakterisiert. Diese entstammen der gleichen Symbolmenge wie die Quellensymbole ⇒ $M_Y=M_X = M$. Zur Vereinfachung der nachfolgenden Beschreibung bezeichnen wir diese mit Kleinbuchstaben, zum Beispiel für $M=3$: $Y = \{\hspace{0.05cm}{\rm a}, \hspace{0.15cm} {\rm b}, \hspace{0.15cm} {\rm c} \hspace{0.05cm}\}$.
Der Zusammenhang zwischen den Zufallsgrößen $X$ und $Y$ ist durch ein digitales Kanalmodell ohne Gedächtnis $($englisch: Discrete Memoryless Channel, $\rm DMC)$ festgelegt. Die linke Grafik zeigt dieses für $M=2$ und die rechte Grafik für $M=3$.
Bitte beachten Sie: In der rechten Grafik sind nicht alle Übergänge beschriftet
Die folgende Beschreibung gilt für den einfacheren Fall $M=2$. Für die Berechnung aller informationstheoretischer Größen im nächsten Abschnitt benötigen wir außer $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ noch die zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $($jeweils eine $2\times2$–Matrix$)$ aller
- bedingten Wahrscheinlichkeiten ⇒ $P_{\hspace{0.01cm}Y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.01cm}X}(Y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.03cm} X)$ ⇒ durch das DMC–Modell vorgegeben;
- Verbundwahrscheinlichkeiten ⇒ $P_{XY}(X,\hspace{0.1cm}Y)$;
- Rückschlusswahrscheinlichkeiten ⇒ $P_{\hspace{0.01cm}X\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.03cm}Y}(X\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.03cm} Y)$.
$\text{Beispiel 1}$: Wir betrachten den skizzierten Binärkanal.
- Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten seien:
- $$\begin{align*}p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} & = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm A}) = 0.95\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm b}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm A}) = 0.05\hspace{0.05cm},\\ p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} & = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm B}) = 0.40\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm b}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm B}) = 0.60\end{align*}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\hspace{0.01cm}Y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}X}(Y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} X) = \begin{pmatrix} 0.95 & 0.05\\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
- Außerdem gehen wir von nicht gleichwahrscheinlichen Quellensymbolen aus:
- $$P_X(X) = \big ( p_{\rm A},\ p_{\rm B} \big )= \big ( 0.1,\ 0.9 \big ) \hspace{0.05cm}.$$
- Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Sinke ergibt sich somit:
- $$P_Y(Y) = \big [ {\rm Pr}( Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a})\hspace{0.05cm}, \ {\rm Pr}( Y \hspace{-0.1cm}= {\rm b}) \big ] = \big ( 0.1\hspace{0.05cm},\ 0.9 \big ) \cdot \begin{pmatrix} 0.95 & 0.05\\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix} $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}( Y \hspace{-0.1cm}= {\rm a}) = 0.1 \cdot 0.95 + 0.9 \cdot 0.4 = 0.455\hspace{0.05cm},\hspace{1.0cm} {\rm Pr}( Y \hspace{-0.1cm}= {\rm b}) = 1 - {\rm Pr}( Y \hspace{-0.1cm}= {\rm a}) = 0.545.$$
- Die Verbundwahrscheinlichkeiten $p_{\mu \kappa} = \text{Pr}\big[(X = μ) ∩ (Y = κ)\big]$ zwischen Quelle und Sinke sind:
- $$\begin{align*}p_{\rm Aa} & = p_{\rm a} \cdot p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = 0.095\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm Ab} = p_{\rm b} \cdot p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = 0.005\hspace{0.05cm},\\ p_{\rm Ba} & = p_{\rm a} \cdot p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = 0.360\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}p_{\rm Bb} = p_{\rm b} \cdot p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = 0.540\hspace{0.05cm}. \end{align*}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{XY}(X,\hspace{0.1cm}Y) = \begin{pmatrix} 0.095 & 0.005\\ 0.36 & 0.54 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
- Für die Rückschlusswahrscheinlichkeiten erhält man:
- $$\begin{align*}p_{\rm A\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}a} & = p_{\rm Aa}/p_{\rm a} = 0.095/0.455 = 0.2088\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm A\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}b} = p_{\rm Ab}/p_{\rm b} = 0.005/0.545 = 0.0092\hspace{0.05cm},\\ p_{\rm B\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}a} & = p_{\rm Ba}/p_{\rm a} = 0.36/0.455 = 0.7912\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm B\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}b} = p_{\rm Bb}/p_{\rm b} = 0.54/0.545 = 0.9908\hspace{0.05cm} \end{align*}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\hspace{0.01cm}X\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}Y}(X\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} Y) = \begin{pmatrix} 0.2088 & 0.0092\\ 0.7912 & 0.9908 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
Definition und Interpretation verschiedener Entropiefunktionen
Im $\rm LNTwww$–Theorieteil werden alle für 2D–Zufallsgrößen relevanten Entropien definiert, die auch für die Digitalsignalübertragung gelten. Zudem finden Sie dort zwei Schaubilder, die den Zusammenhang zwischen den einzelnen Entropien illustrieren.
- Für die Digitalsignalübertragung ist die rechte Darstellung zweckmäßig, bei der die Richtung von der Quelle $X$ zur Sinke $Y$ erkennbar ist.
- Wir interpretieren nun ausgehend von dieser Grafik die einzelnen informationstheoretischen Größen.
Bitte beachten Sie: In der rechten Grafik ist $H_{XY}$ nicht darstellbar
- Die Quellenentropie (englisch: Source Entropy ) $H(X)$ bezeichnet den mittleren Informationsgehalt der Quellensymbolfolge. Mit dem Symbolumfang $|X|$ gilt:
- $$H(X) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_X(X)}\right ] \hspace{0.1cm} = -{\rm E} \big [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}{P_X(X)}\big ] \hspace{0.2cm} =\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{|X|} P_X(x_{\mu}) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_X(x_{\mu})} \hspace{0.05cm}.$$
- Die Äquivokation (auch Rückschlussentropie genannt, englisch: Equivocation ) $H(X|Y)$ gibt den mittleren Informationsgehalt an, den ein Betrachter, der über die Sinke $Y$ genau Bescheid weiß, durch Beobachtung der Quelle $X$ gewinnt:
- $$H(X|Y) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}X\hspace{-0.01cm}|\hspace{-0.01cm}Y}(X\hspace{-0.01cm} |\hspace{0.03cm} Y)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{|X|} \sum_{\kappa = 1}^{|Y|} P_{XY}(x_{\mu},\hspace{0.05cm}y_{\kappa}) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}X\hspace{-0.01cm}|\hspace{0.03cm}Y} (\hspace{0.05cm}x_{\mu}\hspace{0.03cm} |\hspace{0.05cm} y_{\kappa})} \hspace{0.05cm}.$$
- Die Äquivokation ist der Anteil der Quellenentropie $H(X)$, der durch Kanalstörungen (bei digitalem Kanal: Übertragungsfehler) verloren geht. Es verbleibt die Transinformation (englisch: Mutual Information) $I(X; Y)$, die zur Sinke gelangt:
- $$I(X;Y) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_{XY}(X, Y)}{P_X(X) \cdot P_Y(Y)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{|X|} \sum_{\kappa = 1}^{|Y|} P_{XY}(x_{\mu},\hspace{0.05cm}y_{\kappa}) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_{XY}(x_{\mu},\hspace{0.05cm}y_{\kappa})}{P_{\hspace{0.05cm}X}(\hspace{0.05cm}x_{\mu}) \cdot P_{\hspace{0.05cm}Y}(\hspace{0.05cm}y_{\kappa})} \hspace{0.05cm} = H(X) - H(X|Y) \hspace{0.05cm}.$$
Hallo Veronika, bitte diese Gleichung an Beispielen überprüfen und mir zeigen, wie es geht. Ich stelle mich zu blöd!
- Die Irrelevanz (manchmal auch Streuentropie genannt, englisch: Irrelevance) $H(Y|X)$ gibt den mittleren Informationsgehalt an, den ein Betrachter, der über die Quelle $X$ genau Bescheid weiß, durch Beobachtung der Sinke $Y$ gewinnt:
- $$H(Y|X) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}Y\hspace{-0.01cm}|\hspace{-0.01cm}X}(Y\hspace{-0.01cm} |\hspace{0.03cm} X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{|X|} \sum_{\kappa = 1}^{|Y|} P_{XY}(x_{\mu},\hspace{0.05cm}y_{\kappa}) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}Y\hspace{-0.01cm}|\hspace{0.03cm}X} (\hspace{0.05cm}y_{\kappa}\hspace{0.03cm} |\hspace{0.05cm} x_{\mu})} \hspace{0.05cm}.$$
- Die Sinkenentropie $H(Y)$, der mittlere Informationsgehalt der Sinke, ist die Summe aus der nützlichen Transinformation $I(X; Y)$ und der Irrelevanz $H(Y|X)$, die ausschließlich von Kanalfehlern herrührt:
- $$H(Y) = {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_Y(Y)}\right ] \hspace{0.1cm} = -{\rm E} \big [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}{P_Y(Y)}\big ] \hspace{0.2cm} =I(X;Y) + H(Y|X) \hspace{0.05cm}.$$
- Die Verbundentropie $H(XY)$ gibt ist den mittleren Informationsgehalt der 2D–Zufallsgröße $XY$ an.  sie beschreibt zudem eine obere Schranke für die Summe aus Quellenentropie und Sinkenentropie:
- $$H(XY) = {\rm E} \left [ {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{XY}(X, Y)}\right ] = \sum_{\mu = 1}^{M} \hspace{0.1cm} \sum_{\kappa = 1}^{K} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x_{\mu}\hspace{0.05cm}, y_{\kappa}) \cdot {\rm log} \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{XY}(x_{\mu}\hspace{0.05cm}, y_{\kappa})}\le H(X) + H(Y) \hspace{0.05cm}.$$
$\text{Beispiel 2}$: Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie für das $\text{Beispiel 1}$:
(1) Die Quellensymbole sind nicht gleichwahrscheinlich:
- $$P_X(X) = \big ( p_{\rm A},\ p_{\rm B} \big )= \big ( 0.1,\ 0.9 \big ) \hspace{0.05cm}.$$
(2) Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten seien:
- $$\begin{align*}p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} & = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm A}) = 0.95\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm b}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm A}) = 0.05\hspace{0.05cm},\\ p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} & = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm a}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm B}) = 0.40\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = {\rm Pr}(Y\hspace{-0.1cm} = {\rm b}\hspace{0.05cm}\vert X \hspace{-0.1cm}= {\rm B}) = 0.60\end{align*}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\hspace{0.01cm}Y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}X}(Y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} X) = \begin{pmatrix} 0.95 & 0.05\\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
- Wegen Voraussetzung (1) erhält man so für die Quellenentropie mit der binären Entropiefunktion $H_{\rm bin}(p)$:
- $$H(X) = p_{\rm A} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm A}\hspace{0.1cm} } + p_{\rm B} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{p_{\rm B} }= H_{\rm bin} (p_{\rm A}) = H_{\rm bin} (0.1)= 0.469 \ {\rm bit} \hspace{0.05cm};$$
- $$H_{\rm bin} (p) = p \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p\hspace{0.1cm} } + (1 - p) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{1 - p} \hspace{0.5cm}{\rm (Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit\hspace{0.15cm}oder\hspace{0.15cm}bit/Symbol)} \hspace{0.05cm}.$$
- Entsprechend gilt für die Sinkenentropie mit der PMF $P_Y(Y) = \big ( p_{\rm a},\ p_{\rm b} \big )= \big ( 0.455,\ 0.545 \big )$:
- $$H(Y) = H_{\rm bin} (0.455)= 0.994 \ {\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$
- Als nächstes berechnen wir die Verbundentropie:
- $$H(XY) = p_{\rm Aa} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Aa}\hspace{0.1cm} }+ p_{\rm Ab} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Ab}\hspace{0.1cm} }+p_{\rm Ba} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Ba}\hspace{0.1cm} }+ p_{\rm Bb} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Bb}\hspace{0.1cm} }$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H(XY) = 0.095 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.095 } +0.005 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.005 }+0.36 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.36 }+0.54 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{0.54 }= 1.371 \ {\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$
Entsprechend dem oberen linken Schaubild sind somit auch die restlichen informationstheoretischen Größen berechenbar:
- die Äquivokation (oder Rückschlussentropie):
- $$H(X \vert Y) \hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm} H(XY) \hspace{-0.01cm} -\hspace{-0.01cm} H(Y) \hspace{-0.01cm} = \hspace{-0.01cm} 1.371\hspace{-0.01cm} -\hspace{-0.01cm} 0.994\hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm} 0.377\ {\rm bit} \hspace{0.05cm},$$
- die Irrelevanz (oder Streuentropie):
- $$H(Y \vert X) = H(XY) - H(X) = 1.371 - 0.994 = 0.902\ {\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$
- die Transinformation (englisch Mutual Information):
- $$I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(XY) = 0.469 + 0.994 - 1.371 = 0.092\ {\rm bit} \hspace{0.05cm},$$
Die Ergebnisse sind in nebenstehender Grafik zusammengefasst.
Anmerkung: Äquivokation und Irrelevanz könnte man (allerdfings mit Mehraufwand) auch direkt aus den entsprechenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen berechnen, zum Beispiel:
- $$H(Y \vert X) = \hspace{-0.2cm} \sum_{(x, y) \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}XY} \hspace{-0.2cm} P_{XY}(x,\hspace{0.05cm}y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{P_{\hspace{0.05cm}Y\hspace{-0.01cm}\vert \hspace{0.03cm}X} (\hspace{0.05cm}y\hspace{0.03cm} \vert \hspace{0.05cm} x)}= p_{\rm Aa} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} } + p_{\rm Ab} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} } + p_{\rm Ba} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} } + p_{\rm Bb} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} } = 0.902 \ {\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$
Rote Übergänge stehen für $p_{\rm a\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}B} = p_{\rm c\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}C} = q$ und blaue für $p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} = p_{\rm c\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}A} =\text{...}= p_{\rm b\hspace{0.03cm}\vert \hspace{0.03cm}C}= (1-q)/2$
$\text{Beispiel 3}$: Nun betrachten wir ein Übertragungssystem mit $M_X = M_Y = M=3$.
(1) Die Quellensymbole seien gleichwahrscheinlich:
- $$P_X(X) = \big ( p_{\rm A},\ p_{\rm B},\ p_{\rm C} \big )= \big ( 1/3,\ 1/3,\ 1/3 \big )\hspace{0.30cm}\Rightarrow\hspace{0.30cm}H(X)={\rm log_2}\hspace{0.1cm}3 \approx 1.585 \ {\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Das Kanalmodell ist symmetrisch ⇒ auch die Sinkensymbole sind gleichwahrscheinlich:
- $$P_Y(Y) = \big ( p_{\rm a},\ p_{\rm b},\ p_{\rm c} \big )= \big ( 1/3,\ 1/3,\ 1/3 \big )\hspace{0.30cm}\Rightarrow\hspace{0.30cm}H(Y)={\rm log_2}\hspace{0.1cm}3 \approx 1.585 \ {\rm bit} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Die Verbundwahrscheinlichkeiten ergeben sich wie folgt:
- $$p_{\rm Aa}= p_{\rm Bb}= p_{\rm Cc}= q/M,$$
- $$p_{\rm Ab}= p_{\rm Ac}= p_{\rm Ba}= p_{\rm Bc} = p_{\rm Ca}= p_{\rm Cb} = (1-q)/(2M)$$
- $$\Rightarrow\hspace{0.30cm}H(XY) = 3 \cdot p_{\rm Aa} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Aa}\hspace{0.1cm} }+6 \cdot p_{\rm Ab} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{1}{\hspace{0.1cm}p_{\rm Ab}\hspace{0.1cm} }= \ \text{...} \ = q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{M}{q }+ (1-q) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac{M}{(1-q)/2 }.$$
(4) Für die Transinformation erhält man nach einigen Umformungen unter Berücksichtigung der Gleichung
- $$I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(XY)\text{:}$$
- $$I(X;Y) = {\rm log_2}\ (M) - (1-q) -H_{\rm bin}(q).$$
- Bei fehlerfreier Ternärübertragung $(q=1)$ gilt $I(X;Y) = H(X) = H(Y)={\rm log_2}\hspace{0.1cm}3$.
- Mit $q=0.8$ sinkt die Transinformaion schon auf $I(X;Y) = 0.663$ und mit $q=0.5$ auf $0.085$ bit.
- Der ungünstigste Fall aus informationstheoretischer Sicht ist $q=1/3$ ⇒ $I(X;Y) = 0$.
- Dagegen ist der aus der aus Sicht der Übertragungstheorie ungünstigste Fall $q=0$ ⇒ „kein einziges Übertragungssymbol kommt richtig an” aus informationstheoretischer Sicht gar nicht so schlecht.
- Um dieses gute Ergebnis nutzen zu können, ist allerdings sendeseitig eine Kanalcodierung erforderlich.
Definition und Bedeutung der Kanalkapazität
Berechnet man die Transinformation $I(X, Y)$ wie zuletzt im $\text{Beispiel 2}$ ausgeführt, so hängt diese nicht nur vom diskreten gedächtnislosen Kanal (englisch: Discrete Memoryless Channel, kurz DMC) ab, sondern auch von der Quellenstatistik ⇒ $P_X(X)$ ab. Ergo: Die Transinformation $I(X, Y)$ ist keine reine Kanalkenngröße.
$\text{Definition:}$ Die von Claude E. Shannon eingeführte Kanalkapazität (englisch: Channel Capacity) lautet gemäß seinem Standardwerk [Sha48][1]:
- $$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) \hspace{0.05cm}.$$
Oft wird die Zusatzeinheit „bit/Kanalzugriff” hinzugefügt, bei englischen Texten „bit/use”. Da nach dieser Definition stets die bestmögliche Quellenstatistik zugrunde liegt, hängt $C$ nur von den Kanaleigenschaften ⇒ $P_{Y \vert X}(Y \vert X)$ ab, nicht jedoch von der Quellenstatistik ⇒ $P_X(X)$.
Shannon benötigte die Kanalbeschreibungsgröße $C$ zur Formulierung des Kanalcodierungstheorems – eines der Highlights der von ihm begründeten Informationstheorie.
$\text{Shannons Kanalcodierungstheorem:}$
- Zu jedem Übertragungskanal mit der Kanalkapazität $C > 0$ existiert (mindestens) ein $(k, n)$–Blockcode, dessen (Block–)Fehlerwahrscheinlichkeit gegen Null geht, so lange die Coderate $R = k/n$ kleiner oder gleich der Kanalkapazität ist: $R ≤ C.$
- Voraussetzung hierfür ist allerdings, dass für die Blocklänge dieses Codes gilt: $n → ∞.$
$\text{Umkehrschluss von Shannons Kanalcodierungstheorem:}$
Ist die Rate $R$ des verwendeten $(n$, $k)$–Blockcodes größer als die Kanalkapazität $C$, so ist niemals eine beliebig kleine Blockfehlerwahrscheinlichkeit nicht erreichbar.
verschiedene $p_{\rm A}$ und $p_{\rm B}= 1- p_{\rm A}$
$\text{Beispiel 4}$: Wir betrachten den gleichen diskreten gedächtnislosen Kanal wie im $\text{Beispiel 2}$. In diesem $\text{Beispiel 2}$ wurden die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm A} = 0.1$ und $p_{\rm B}= 1- p_{\rm A}=0.9$ vorausgesetzt. Damit ergab sich die Transinformation zu $I(X;Y)= 0.092$ bit/Kanalzugriff ⇒ siehe erste Zeile, vierte Spalte in der Tabelle.
Die Kanalkapazität ist die Transinformation $I(X, Y)$ bei bestmöglichen Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm A} = 0.55$ und $p_{\rm B}= 1- p_{\rm A}=0.45$:
- $$C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) = 0.284 \ \rm bit/Kanalzugriff \hspace{0.05cm}.$$
Aus der Tabelle erkennt man weiter (auf die Zusatzeinheit „bit/Kanalzugriff„ verzichten wir im Folgenden):
- Der Parameter $p_{\rm A} = 0.1$ war sehr ungünstig gewählt, weil beim vorliegenden Kanal das Symbol $\rm A$ mehr verfälscht wird als $\rm B$. Schon mit $p_{\rm A} = 0.9$ ergibt sich ein etwas besserer Wert: $I(X; Y)=0.130$.
- Aus dem gleichen Grund liefert $p_{\rm A} = 0.55$, $p_{\rm B} = 0.45$ ein etwas besseres Ergebnis als gleichwahrscheinliche Symbole $p_{\rm A} = p_{\rm B} =0.5$.
- Je unsymmetrischer der Kanal ist, um so mehr weicht die optimale Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$ von der Gleichverteilung ab. Im Umkehrschluss: Bei symmetrischem Kanal ergibt sich stets die Gleichverteilung.
Der Ternärkanal von $\text{Beispiel 3}$ ist symmetrisch. Deshalb ist hier $P_X(X) = \big ( 1/3,\ 1/3,\ 1/3 \big )$ für jeden $q$–Wert optimal, und die in der Ergebnistabelle angegebene Transinformation $I(X;Y)$ ist gleichzeitig die Kanalkapazität $C$.
Versuchsdurchführung
- Wählen Sie zunächst die Nummer 1 ... 6 der zu bearbeitenden Aufgabe.
- Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
- Lösung nach Drücken von „Hide solution”.
- Aufgabenstellung und Lösung in Englisch.
Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:
- Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
- Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
In der folgenden Beschreibung bedeutet
- Blau: Verteilungsfunktion 1 (im Applet blau markiert),
- Rot: Verteilungsfunktion 2 (im Applet rot markiert).
(1) Setzen Sie Blau: Binomialverteilung $(I=5, \ p=0.4)$ und Rot: Binomialverteilung $(I=10, \ p=0.2)$.
- Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z=0)$ und ${\rm Pr}(z=1)$?
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(z=0)=0.6^5=7.78\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.4 \cdot 0.6^4=25.92\%;$
$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(z=0)=0.8^10=10.74\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.2 \cdot 0.8^9=26.84\%.$
(2) Es gelten weiter die Einstellungen von (1). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(3 \le z \le 5)$?
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es gilt }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z=3) + {\rm Pr}(z=4) + {\rm Pr}(z=5)\text{, oder }
{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z \le 5) - {\rm Pr}(z \le 2)$.
$\hspace{1.85cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2304+ 0.0768 + 0.0102 =1 - 0.6826 = 0.3174;$
$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2013 + 0.0881 + 0.0264 = 0.9936 - 0.6778 = 0.3158.$
(3) Es gelten weiter die Einstellungen von (1). Wie unterscheiden sich der Mittelwert $m_1$ und die Streuung $\sigma$ der beiden Binomialverteilungen?
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1} = I \cdot p\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} m_\text{1, Blau} = 5 \cdot 0.4\underline{ = 2 =} \ m_\text{1, Rot} = 10 \cdot 0.2; $
$\hspace{1.85cm}\text{Streuung:}\hspace{0.4cm}\sigma = \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{m_1 \cdot (1-p)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma_{\rm Blau} = \sqrt{2 \cdot 0.6} =1.095 < \sigma_{\rm Rot} = \sqrt{2 \cdot 0.8} = 1.265.$
(4) Setzen Sie Blau: Binomialverteilung $(I=15, p=0.3)$ und Rot: Poissonverteilung $(\lambda=4.5)$.
- Welche Unterschiede ergeben sich zwischen beiden Verteilungen hinsichtlich Mittelwert $m_1$ und Varianz $\sigma^2$?
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Beide Verteilungern haben gleichen Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1, Blau} = I \cdot p\ = 15 \cdot 0.3\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.5 =} \ m_\text{1, Rot} = \lambda$;
$\hspace{1.85cm} \text{Binomialverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Blau}^2 = m_\text{1, Blau} \cdot (1-p)\hspace{0.15cm}\underline { = 3.15} \le \text{Poissonverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Rot}^2 = \lambda\hspace{0.15cm}\underline { = 4.5}$;
(5) Es gelten die Einstellungen von (4). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z \gt 10)$ und ${\rm Pr}(z \gt 15)$?
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomial: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - {\rm Pr}(z \le 10) = 1 - 0.9993 = 0.0007;\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(z \gt 15) = 0 \ {\rm (exakt)}$.
$\hspace{1.85cm}\text{Poisson: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - 0.9933 = 0.0067;\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \gt 0 \ ( \approx 0)$
$\hspace{1.85cm} \text{Näherung: }\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \ge {\rm Pr}(z = 16) = \lambda^{16}/{16!}\approx 2 \cdot 10^{-22}$.
(6) Es gelten weiter die Einstellungen von (4). Mit welchen Parametern ergeben sich symmetrische Verteilungen um $m_1$?
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomialverung mit }p = 0.5\text{: }p_\mu = {\rm Pr}(z = \mu)\text{ symmetrisch um } m_1 = I/2 = 7.5 \ ⇒ \ p_μ = p_{I–μ}\ ⇒ \ p_8 = p_7, \ p_9 = p_6, \text{usw.}$
$\hspace{1.85cm}\text{Die Poissonverteilung wird dagegen nie symmetrisch, da sie sich bis ins Unendliche erstreckt!}$
Zur Handhabung des Applets
(A) Vorauswahl für blauen Parametersatz
(B) Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider
(C) Vorauswahl für roten Parametersatz
(D) Parametereingabe $\lambda$ per Slider
(E) Graphische Darstellung der Verteilungen
(F) Momentenausgabe für blauen Parametersatz
(G) Momentenausgabe für roten Parametersatz
(H) Variation der grafischen Darstellung
$\hspace{1.5cm}$„$+$” (Vergrößern),
$\hspace{1.5cm}$ „$-$” (Verkleinern)
$\hspace{1.5cm}$ „$\rm o$” (Zurücksetzen)
$\hspace{1.5cm}$ „$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.
( I ) Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$
(J) Bereich für die Versuchsdurchführung
Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung:
- Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
- Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
Über die Autoren
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
- Die erste Version wurde 2003 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
- 2018 wurde das Programm von Jimmy He (Bachelorarbeit, Betreuer: Tasnád Kernetzky ) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.
Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster
- ↑ Shannon, C.E.: A Mathematical Theory of Communication. In: Bell Syst. Techn. J. 27 (1948), S. 379-423 und S. 623-656.
