Aufgabe 4.2: Tiefpass zur Signalrekonstruktion

Kontinuierliches und diskretes Spektrum

Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei verschiedene Quellensignale $q_{\rm kon}(t)$ und $q_{\rm dis}(t)$, deren Betrags-Spektren $|Q_{\rm kon}(f)|$ und $|Q_{\rm dis}(f)|$ grafisch dargestellt sind. Die höchste in den Signalen vorkommende Frequenz ist jeweils $4 \ \rm kHz$.

Von der Spektralfunktion $Q_{\rm kon}(f)$ ist nicht mehr bekannt, als dass es sich um ein kontinuierliches Spektrum handelt, wobei gilt:

$$Q_{\rm kon}(|f| \le 4\,{\rm kHz}) \ne 0 \hspace{0.05cm}.$$

Das Spektrum $Q_{\rm dis}(f)$ beinhaltet Spektrallinien bei $±1 \ \rm kHz$, $±2 \ \rm kHz$, $±3 \ \rm kHz$ und $±4 \ \rm kHz$. Somit gilt:

$$q_{\rm dis}(t) = \sum_{i=1}^{4}C_i \cdot \cos (2 \pi \cdot f_i \cdot t - \varphi_i)$$

mit $C_1 = 1.0 \ \rm V$, $C_2 = 1.8 \ \rm V$, $C_3 = 0.8 \ \rm V$, $C_4 = 0.4 \ \rm V$. Die Phasenwerte $φ_1$,$φ_2$ und $φ_3$ liegen jeweils im Bereich $±18^\circ$ und es gilt $φ_4 = 90^\circ$.

Die Signale werden jeweils mit der Frequenz $f_{\rm A}$ abgetastet und sofort einem idealen, rechteckförmigen Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ zugeführt. Dieses Szenario gilt zum Beispiel für

die störungsfreie Pulsamplitudenmodulation (PAM) und
die störungsfreie Pulscodemodulation (PCM) bei unendlich großer Quantisierungsstufenzahl $M$.

Das Ausgangssignal des (rechteckförmigen) Tiefpasses wird als Sinkensignal $v(t)$ bezeichnet, und für das Fehlersignal gilt $ε(t) = v(t) - q(t)$. Dieses ist nur dann von $0$ verschieden, wenn die Parameter der Abtastung (Abtastfrequenz $f_{\rm A}$) und/oder der Signalrekonstruktion (Grenzfrequenz $f_{\rm G}$) nicht bestmöglich dimensioniert sind.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Pulscodemodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Abtastung und Signalrekonstruktion.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

1. Richtig ist nur die erste Aussage. Die Abtastung von $q_{dis}(t)$ mit der Abtastfrequenz $f-A = 8 kHz$ führt zu einem irreversiblen Fehler, da $Q_{dis}(f)$ einen diskreten Spektralanteil (Diraclinie) bei $f_4 = 4 kHz$ beinhaltet und der Phasenwert $φ_4 ≠ 0$ ist. Mit dem hier angegebenen Phasenwert $φ_4 = 90°$ (4 kHz– Sinuskomponente) gilt $ε_{dis}(t) = υ_{dis}(t) – q_{dis}(t) = –0.4 V · sin(2π · f_4 · t)$. Siehe auch Musterlösung zur Aufgabe Z4.2.

Dagegen kann das Signal $q_{kon}(t)$ mit dem kontinuierlichen Spektrum $Q_{kon}(f)$ auch dann mit einem Rechteck–Tiefpass (mit der Grenzfrequenz $f_G = 4 kHz$) vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz $f_A = 8 kHz$ verwendet wurde. Für alle Frequenzen ungleich $f_4$ ist das Abtasttheorem erfüllt. Der Anteil der $f_4$–Komponente am gesamten Spektrum $Q_{kon}(f)$ ist aber nur verschwindend klein ⇒ $Pr(f_4) → 0$, solange das Spektrum bei f4 keine Diraclinie aufweist.

2. Mit $f-A = 10 kHz$ wird das Abtasttheorem in beiden Fällen erfüllt und mit $f_G = f_A/2$ sind beide Fehlersignale $ε_{kon}(t)$ und $ε_{dis}(t)$ gleich 0 ⇒ Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 1.

Die Signalrekonstruktion funktioniert darüber hinaus auch dann, solange $f_G > 4 kHz$ und $f_G < 6 kHz$ gilt.

3. Mit $f_G = 3.5 kHz$ entfernt der Tiefpass fälschlicherweise den $4 kHz$–Anteil, das heißt dann gilt: $$ v_{\rm dis}(t) = q_{\rm dis}(t) - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm dis}(t) = - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$ ⇒ Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 2.

4. Durch die Abtastung mit $f_A = 10 kHz$ ergibt sich das folgende periodische Spektrum:

Der Tiefpass entfernt alle diskreten Frequenzanteile mit $|f| ≥ 7 kHz$, nicht aber den $6 kHz$–Anteil. Das Fehlersignal $ε_{dis}(t) = υ_{dis}(t) – q_{dis}(t)$ ist dann eine harmonische Schwingung mit

der Frequenz $f_6 = f_A – f_4 = 6 kHz$,
der Amplitude $A_4$ des $f_4$–Anteils,
der Phase $φ_{–4} = –φ_4$ des $Q(f)$–Anteils bei $f = –f_4$.

⇒ Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 3.

	Das Signal $q_{\rm kon}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{\rm kon}(t) = 0$.
	Das Signal $q_{\rm dis}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{\rm dis}(t) = 0$.

	Das Signal $q_{\rm dis}(t)$ lässt sich vollständig rekonstruieren: $ε_{\rm dis}(t) = 0$.
	$ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $4 \ \rm kHz$.
	$ε_{\rm dis}(t)$ ist eine harmonische Schwingung mit $6 \ \rm kHz$.