Aufgabe 4.7Z: Signalformen bei ASK, BPSK und DPSK

Vorgegebene Sendesignale nach Modulation

Die Abbildung zeigt jeweils ausgehend vom gleichen Quellensignal $q(t)$ die Sendesignale bei

Die Sendesignale sind hier allgemein mit $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ bezeichnet. Die Zuordnung zu den vorgegebenen Modulationsverfahren soll von Ihnen vorgenommen werden.

Außerdem soll für alle Signale die jeweilige mittlere Energie pro Bit ⇒ $E_{\rm }B$ in „Ws” angegeben werden, wobei folgende Annahmen getroffen werden können:

Die (maximale) Hüllkurve aller trägerfrequenzmodulierten Signale ist $s_0 = 2\ \rm V$.
Die Bitrate des redundanzfreien Quellensignals beträgt $R_{\rm B} = 1 \ \rm Mbit/s$.
Die Modulatoren arbeiten mit einem Arbeitswiderstand von $R = 50 \ \rm Ω$.

Beispielsweise würde bei (bipolarer) Basisbandübertragung mit der Symboldauer $T_{\rm } = 1/R_{\rm }$ gelten:

$$ E_{\rm B} = \frac {s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{R} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-6} \,{\rm s}}{50 \,{\rm V/A}}= 8 \cdot 10^{-8} \,{\rm Ws}= 0.08 \,\,{\rm \mu Ws}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare digitale Modulation.
Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Grundlagen der codierten Übertragung im Buch „Digitalsignalübertragung”.
Die Leistungen sind in $\rm V^2$ anzugeben; sie beziehen sich somit auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

	$s_1(t)$,
	$s_2(t)$,
	$s_3(t)$.

$E_{\rm B} \ = \ $

$\ \rm μWs$

	$s_1(t),$
	$s_2(t),$
	$s_3(t).$

$E_{\rm B} \ = \ $

$\ \rm μWs$

	$s_1(t),$
	$s_2(t),$
	$s_3(t)$.

$E_{\rm B} \ = \ $

$\ \rm μWs$

Musterlösung

1. Das ASK–Signal ergibt sich aus der Multiplikation des hier sinusförmigen Trägersignals $z(t)$ mit dem unipolaren Quellensignal $q(t)$. Es ist offensichtlich, dass $s_3(t)$ ein solches ASK–Signal beschreibt ⇒ Lösungsvorschlag 3. Die unipolaren Amplitudenkoeffizienten des Quellensignals lauten 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1.

2. Gegenüber der bipolaren Basisbandübertragung sind bei der ASK folgende Änderungen zu erkennen:

Die Energie wird wegen der Multiplikation mit dem Sinussignal halbiert.
Da $q(t)$ als redundanzfrei vorausgesetzt wird, gilt in der Hälfte der Zeit $s_3(t) = 0$, wodurch die Energie nochmals halbiert wird.

Damit ergibt sich: $$E_{\rm B} = \frac {s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{4 \cdot R} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-6} \,{\rm s}}{4 \cdot 50 \,{\rm V/A}}= 2 \cdot 10^{-8} \,{\rm Ws}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.02 \,\,{\rm \mu Ws}}.$$

3. Typisch für die BPSK sind Phasensprünge. Da stets das gleiche Quellensignal vorausgesetzt wurde, treten diese Phasensprünge genau dann auf, wenn im ASK–Signal $s_3(t)$ ein Symbolwechsel zu erkennen ist. Richtig ist somit der erste Lösungsvorschlag $s_1(t)$.

4. Von der unter b) genannten Veränderung gegenüber der Basisbandübertragung ist bei BPSK nur die erste zutreffend. Damit gilt: $$E_{\rm B} = \frac {s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{2 \cdot R} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.04 \,\,{\rm \mu Ws}}.$$

5. Wie bereits zu vermuten ist, lautet die richtige Antwort $s_2(t)$ ⇒ Lösungsvorschlag 2. Der DPSK–Modulator arbeitet wie folgt, wobei m0 = – 1 vorausgesetzt wird: $$ m_0 = -1, \hspace{0.1cm}a_1 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}m_1 = -1,$$ $$m_1 = -1, \hspace{0.1cm}a_2 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}m_2 = -1,$$ $$m_2 = -1, \hspace{0.1cm}a_3 = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}m_3 = +1,$$ $$m_3 = +1, \hspace{0.1cm}a_4 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}m_4 = +1,$$ $$m_4 = +1, \hspace{0.1cm}a_5 = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}m_5 = -1,$$ $$m_5 = -1, \hspace{0.1cm}a_6 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}m_6 = -1, \,\,{\rm usw.}$$

6. Ein Vergleich der beiden Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$ zeigt, dass sich hinsichtlich der Signalenergie nichts ändert: $E_B = 0.04 μWs$ ⇒ Die DPSK weist die genau gleiche Signalenergie auf wie die BPSK.