Aufgabe 3.1: Analyse eines Faltungscodierers

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Vorgegebener Faltungscodierer

Wir betrachten den nebenstehenden Faltungscodierer und gehen von folgender Informationssequenz:

$$\underline{\it u} = \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm}... \big )\hspace{0.05cm}.$$

Diese Sequenz wird auf drei Stränge aufgeteilt:

$$\underline{\it u}^{(1)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} ... \big )\hspace{0.05cm},$$

$$\underline{\it u}^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big( 1,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} ... \big )\hspace{0.05cm},$$

$$\underline{\it u}^{(3)} \hspace{-0.15cm} \ = \hspace{-0.15cm} \big( 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} ... \big )\hspace{0.05cm}.$$

Die zum Zeitpunkt $i$ am Coder anliegenden Bits werden mit $u_i^{\rm (1)}$, $u_i^{\rm (2)}$ und $u_i^{\rm (3)}$ bezeichnet. Beispielsweise gilt $u_1^{\rm (1)} = 0$, $u_2^{\rm (2)} = 1$ sowie $u_3^{\rm (3)} = 1$.

In dieser Aufgabe sollen ermittelt werden:

• die Anzahl $k$ der pro Codierschritt verarbeiteten Informationsbits,
• die Anzahl $n$ der pro Codierschritt ausgegebenen Codebits,
• die Gedächtnisordnung (oder kurz: das Gedächtnis) $m$,
• die Gesamteinflusslänge (oder kurz: Einflusslänge) $\nu$.

Außerdem sollen Sie für die angegebene Informationssequenz $\underline {u}$ die Codesymbole $x_i^{(1)}$, $x_i^{(2)}$, $x_i^{(3)}$, $x_i^{(4)}$ für die Taktzeitpunkte $i = 1$ und $i = 3$ bestimmen. Dabei ist vorauszusetzen, dass alle Speicherelemente zu Beginn mit Nullen belegt waren.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Grundlagen der Faltungscodierung.
• Der Vollständigkeit halber werden hier auch die Codebits zum Taktschritt $i = 2$ angegeben:

$$x_2^{(1)} = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}x_2^{(2)} = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} x_2^{(3)} = 0 ,\hspace{0.4cm}x_2^{(4)} = 0 \hspace{0.05cm}.$$

1. Diese letzte Angabe wird zur Lösung der Aufgabe allerdings nicht benötigt.

• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Wie lauten die Codeparameter $k$ und $n$?

$k \ = \ $

$n \ = \ $

2

Wie groß sind die Gedächtnisordnung $m$ und die Gesamteinflusslänge $\nu$?

$m \ = \ $

$\nu \ = \ $

3

Wie lauten die vier Codebits im ersten Codierschritt ($i = 1$)?

$x_1^{(1)} \ = \ $

$x_1^{(2)} \ = \ $

$x_1^{(3)} \ = \ $

$x_1^{(4)} \ = \ $

4

Wie lauten die Codebits im dritten Codierschritt ($i = 3$)?

$x_3^{(1)} \ = \ $

$x_3^{(2)} \ = \ $

$x_3^{(3)} \ = \ $

$x_3^{(4)} \ = \ $

Musterlösung

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