Aufgabe 1.3: Kanalmodelle BSC–BEC–BSEC–AWGN
Im Theorieteil zu diesem Kapitel werden die folgenden digitalen Kanalmodelle behandelt:
- Binary Symmetric Channel(BSC),
- Binary Erasure Channel(BEC),
- Binary Symm. Error & Erasure Ch.(BSEC).
Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell. Daraus lassen sich auch die beiden anderen Kanalmodelle ableiten:
- Mit λ = 0 ergibt sich das BSC–Modell.
- Mit $\varepsilon = 0$ ergibt sich das BEC–Modell.
Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanal- modell. Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir das (analoge) Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit $y_{\rm A}$, wobei mit dem Rauschterm n gilt: $y_{\rm A}$ = x̃ + n.
Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin. Es gilt x̃ = +1, falls x = 0, und x̃ = –1, falls x = 1.
Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße y $\in$ {0, 1, E}, die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt. Hierzu werden die Entscheiderschwellen G0 und G1 benötigt.
y = E (Erasure) sagt aus, dass die Entscheidung so unsicher ist, dass als Ergebnis weder y = 0 noch y = 1 gerechtfertigt erscheint. In deutschen Fachbüchern spricht man von einer Auslöschung.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen. Die Streuung des AWGN–Rauschens n wird für die gesamte Aufgabe zu σ = 0.4 angenommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße n größer ist als A oder kleiner als –A, ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral Q(x) wie folgt:
- $${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) = {\rm Q}(A/\sigma)\hspace{0.05cm}.$$
Es folgen noch einige Zahlenwerte der Q–Funktion:
- $$ {\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 50\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.5) \ = \ 30.85\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1) \ = \ 15.87\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.5) \ = \ 6.68\%\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2.28\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.5) \ = \ 0.62\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3) \ = \ 0.14\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3.5) \ = \ 0.02\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
Bitte beachten Sie weiter: Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0$ eigentlich nicht möglich. Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch, dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen. Damit kann $\varepsilon < 0.5 · 10^-4$ durch $\varepsilon \approx 0$ angenähert werden.
Fragebogen
Musterlösung
2.Die Wahrscheinlickeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $$σ größer ist als 1 oder kleiner ist als –1, ergibt sich gemäß der Angabe zu ε = Q(1/σ). Mit σ = 0.4 folgt daraus ε = Q(2.5) = 0.62 %. 3. 4. 5. 6. 7.
