Aufgabe 1.3: Kanalmodelle BSC–BEC–BSEC–AWGN
Im Theorieteil zu diesem Kapitel werden die folgenden digitalen Kanalmodelle behandelt:
- Binary Symmetric Channel(BSC),
- Binary Erasure Channel(BEC),
- Binary Symm. Error & Erasure Ch.(BSEC).
Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell. Daraus lassen sich auch die beiden anderen Kanalmodelle ableiten:
- Mit λ = 0 ergibt sich das BSC–Modell.
- Mit $\varepsilon = 0$ ergibt sich das BEC–Modell.
Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanal- modell. Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir das (analoge) Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit $y_{\rm A}$, wobei mit dem Rauschterm n gilt: $y_{\rm A}$ = x̃ + n.
Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin. Es gilt x̃ = +1, falls x = 0, und x̃ = –1, falls x = 1.
Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße y $\in$ {0, 1, E}, die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt. Hierzu werden die Entscheiderschwellen G0 und G1 benötigt.
y = E (Erasure) sagt aus, dass die Entscheidung so unsicher ist, dass als Ergebnis weder y = 0 noch y = 1 gerechtfertigt erscheint. In deutschen Fachbüchern spricht man von einer Auslöschung.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen. Die Streuung des AWGN–Rauschens n wird für die gesamte Aufgabe zu $\sigma$ = 0.4 angenommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße n größer ist als A oder kleiner als –A, ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral Q(x) wie folgt:
- $${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) = {\rm Q}(A/\sigma)\hspace{0.05cm}.$$
Es folgen noch einige Zahlenwerte der Q–Funktion:
- $$ {\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 50\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.5) \ = \ 30.85\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1) \ = \ 15.87\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.5) \ = \ 6.68\%\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2.28\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.5) \ = \ 0.62\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3) \ = \ 0.14\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3.5) \ = \ 0.02\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
Bitte beachten Sie weiter: Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0$ eigentlich nicht möglich. Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch, dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen. Damit kann $\varepsilon < 0.5 · 10^-4$ durch $\varepsilon \approx 0$ angenähert werden.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Die Wahrscheinlickeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung $\sigma$ größer ist als 1 oder kleiner ist als –1, ergibt sich gemäß der Angabe zu $\varepsilon = {\rm Q} (1/ \sigma). {\rm Mit} \ \sigma= 0.4$ folgt daraus $\varepsilon = {\rm Q}(2.5) \ \underline { = 0.62\, \%}$.
(3) Richtig ist hier die Antwort 2. Beim BSEC–Modell gibt es drei Entscheidungsgebiete: je eines für die Symbole 0 und 1 und ein weiteres für Erasure (E: keine Entscheidung möglich). Dazu benötigt man zwei Schwellen, die symmetrisch um 0 liegen müssen. Wenn dem nicht so wäre, ergäben sich unterschiedliche Ergebnisse für die Symbole 0 und 1.
(4) Es gelte $y_{\rm A}$ = x̃ + n. Eine falsche Entscheidung ergibt sich in diesem Fall für den Rauschterm
- n > +1.2, falls x̃ = –1 ⇒ x = 1,
- n < –1.2, falls x̃ = +1 ⇒ x = 0.
In beiden Fällen erhält man für die Verfälschungswahrscheinlichkeit ε = Q(1.2/0.4) = Q(3) $<u>= 0.14 %</u>$. Ein Erasure (keine Entscheidung) ergibt sich für –0.2 < $y_{\rm A}$ < +0.2. Ausgehend von x̃ = –1 gilt somit:
- $$\lambda \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.8 < n < 1.2) = {\rm Pr}(n > 0.8) - {\rm Pr}(n > 1.2) = $$
- $$ \ \ \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm}{\rm Q}(2) - {\rm Q}(3) \approx 2.28\,\% - 0.14\,\% \hspace{0.15cm} \underline {\approx 2.14\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
(5)
6. 7.
