Aufgabe 2.4: 2D-Übertragungsfunktion

2D–Impulsantwort $|h(\tau, \hspace{0.05cm}t)|$

Dargestellt ist die zweidimensionale Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.05cm}t)$ eines Mobilfunksystems in Betragsdarstellung. Es ist zu erkennen, dass die 2D–Impulsantwort nur für die Verzögerungszeiten $\tau = 0$ und $\tau = 1 \ \rm \mu s$ Anteile besitzt. Zu diesen Zeitpunkten gilt:

$$h(\tau = 0\,{\rm \mu s},\hspace{0.05cm}t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$

$$h(\tau = 1\,{\rm \mu s},\hspace{0.05cm}t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(2\pi \cdot {t}/{ T_0})\hspace{0.05cm}.$$

Für alle anderen $\tau$–Werte ist $h(\tau, \hspace{0.05cm}t) \equiv 0$.

Gesucht ist die zweidimensionale Übertragungsfunktion $H(f, \hspace{0.05cm} t)$ als die Fouriertransformierte von $h(\tau, t)$ hinsichtlich der Verzögerungszeit $\tau$:

$$H(f,\hspace{0.05cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.05cm}t) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mehrwegeempfang beim Mobilfunk.
Eine ähnliche Problematik wird in der Aufgabe 2.5 behandelt, allerdings mit veränderter Nomenklatur.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

$T_0 \ = \ $

$\ \rm ms$

$t_1 \ = \ $

$\ \rm ms$

$t_2 \ = \ $

$\ \rm ms$

	Es gilt $H_0(f) = H_0(f + i \cdot 1 \ {\rm MHz}), i = ±1, ±2, \ \text{...}$
	Es gilt näherungsweise $0.293 ≤ \|H_0(f)\| ≤ 1.707$.
	$\|H_0(f)\|$ hat bei $f = 0$ ein Maximum.

	Es gilt $H_{10}(f) = H_{10}(f + i \cdot 1 \ \rm MHz), i = ±1, ±2, \ \text{...}$
	Es gilt näherungsweise $0.293 ≤ H_{10}(f) ≤ 1.707$.
	$\|H_{10}(f)\|$ hat bei $f = 0$ ein Maximum.

Musterlösung

(1) Die Periodendauer kann man aus der gegebenen Grafik ablesen. Berücksichtigt man die Betragsdarstellung, so ergibt sich $T_0 \ \underline {= 20 \ \rm ms}$.

(2) Zum Zeitpunkt $t_1 \ \underline {= 5 \ \rm ms}$ ist $h(\tau = 1 \ {\rm \mu s}, t_1) = 0$. Dementsprechend gilt

$$h(\tau = 1\,{\rm \mu s},\hspace{0.05cm}t_1) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f,\hspace{0.05cm}t_1) = \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$

Ebenso gilt für $t_2 \ \underline {= 15 \ \rm ms}$:

$$h(\tau = 1\,{\rm \mu s},\hspace{0.05cm}t_2) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f,\hspace{0.05cm}t_2) = \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$

(3) Zum Zeitpunkt $t = 0$ lautet die Impulsantwort mit $\tau_1 = 1 \ \rm \mu s$:

$$h(\tau,\hspace{0.05cm}t = 0) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)+ \delta(\tau - \tau_1)\hspace{0.05cm}.$$

Die Fouriertransformation führt zum Ergebnis:

$$H_0(f) = H(f,\hspace{0.05cm}t = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} + 1 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_1}=\frac{1}{ \sqrt{2}} + \cos( 2 \pi f \tau_1)- {\rm j}\cdot \sin( 2 \pi f \tau_1)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H_0(f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { \left [ {1}/{ \sqrt{2}} + \cos( 2 \pi f \tau_1) \right ]^2 + \left [\sin( 2 \pi f \tau_1)\right ]^2}= \sqrt { 0.5 + 1 + {2}/{ \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)} = \sqrt { 1.5 + { \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)}\hspace{0.05cm}.$$

Daraus folgt:

$H_0(f)$ ist periodisch mit $1/\tau_1 = 1 \ \rm MHz$.
Für den Maximalwert bzw. Minimalwert gilt:

$${\rm Max}\, \left [ \, |H_0(f)|\, \right ] \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 + { \sqrt{2}} } \approx 1.707 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Min}\, \left [ \, |H_0(f)|\, \right ] \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 - { \sqrt{2}} } \approx 0.293 \hspace{0.05cm}. $$

Bei $f = 0$ hat $|H_0(f)|$ ein Maximum.

Richtig sind demzufolge alle drei Lösungsvorschläge.

(4) Für den Zeitpunkt $t = 10 \ \rm ms$ gelten folgende Gleichungen:

$$h(\tau,\hspace{0.05cm}t = 10\,{\rm ms}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)- \delta(\tau - \tau_1)\hspace{0.05cm},$$

$$H_{10}(f) = H(f,\hspace{0.05cm}t = 10\,{\rm ms}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} - \cos( 2 \pi f \tau_1)+ {\rm j}\cdot \sin( 2 \pi f \tau_1)\hspace{0.05cm},$$

$$ |H_{10}(f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 - { \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)}\hspace{0.05cm}.$$

2D–Impulsantwort $|h(\tau, \hspace{0.05cm}t)|$ und 2D–Übertragungsfunktion $|H(f, \hspace{0.05cm}t)|$

Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

Die Frequenzperiode ändert sich gegenüber $t = 0$ nicht.
Der Maximalwert ist weiterhin $1.707$ und auch der Minimalwer $0.293$ ändert sich nicht gegenüber der Teilaufgabe (3).
Bei $f = 0$ tritt nun allerdings ein Minimum und kein Maximum auf.

Die rechte Grafik zeigt den Betrag $|H(f, t)|$ der 2D–Übertragungsfunktion.