Aufgabe 1.2: Schaltlogik (D/B-Wandler)

A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)

Ein Zahlengenerator $Z$ liefert Dezimalwerte im Bereich von $1$ bis $15$. Diese werden in Binärzahlen umgewandelt (rot umrandeter Block). Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten $A$, $B$, $C$ und $D$ mit abnehmender Wertigkeit. Beispielsweise liefert $Z = 11$ die Binärwerte $$ A = 1, \ B = 0, \ C = 1, \ D = 1. $$ Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen: $$ Z = 11\qquad\widehat{=}\qquad A \cap\overline{ B} \cap C \cap D$$

Aus den binären Größen $A$, $B$, $C$ und $D$ werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit X bezeichnet wird: \[ U = A \cap \overline{D} \] \[ V = \overline{A} \cap B \cap \overline{D} \] $$W,\; {\rm wobei} \; \, \overline{W} = \overline{A} \cup \overline{D} \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}). $$ Für die folgenden Fragen ist zu berücksichtigen, dass $Z = 0 \ ⇒ \ A = B = C = D = 0$ bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist. Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen $A$, $B$, $C$ und $D$ zur Berechnung aller Zwischengrößen $U$, $V$ und $W$ herangezogen werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mengentheoretische Grundlagen.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:

Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten

Fragebogen zu "A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)"

Musterlösung

(1) Das Ereignis $U$ beinhaltet alle diejenigen Zahlen größer/gleich 8 $(A = 1)$, die gerade sind $(D = 0)$: $8, 10, 12, 14$ ⇒ Richtig sind die Lösungsalternativen 2 und 4.

(2) Das Ereignis $V$ besteht aus den beiden Zahlen $4$ (binär 0100) und $6$ (binär 0110) ⇒ Richtig sind hier die Lösungsalternativen 1 und 3.

(3) Für das Ereignis $W$ gilt mit dem Theorem von de Morgan:

$$\overline W = \overline A \cup \overline D \cup (\overline B \cap C) \cup (B \cap \overline C) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W = \overline{\overline W} = A \cap D \cap (\overline{\overline B \cap C}) \cap (\overline{B \cap \overline C}).$$

Mit den Sätzen von de Morgan folgt daraus weiter:

$$ W = A \cap D \cap (B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C).$$

Mit der Boolschen Beziehung $(B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C) = (B \cap C) \cup (\overline B \cap \overline C)$ erhält man schließlich (siehe Skizze):

$W = (A \cap B \cap C \cap D) \cup (A \cap \overline B \cap \overline C \cap D)$.

Somit beinhaltet W die Zahlen $15$ und $9$ ⇒ nur Lösungsvorschlag 1.

(4) Die Vereinigungsmenge von $U$, $V$ und $W$ beinhaltet folgende Zahlen: $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15$. Dementsprechend gilt für die Menge $P$ als das Komplement dieser Vereinigungsmenge: $P \in {\{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13\}}$.

Dies sind genau die mit 4 Bit darstellbaren Primzahlen ⇒ Lösungsvorschlag 2.

	$U$ beinhaltet 2 Elemente.
	$U$ beinhaltet 4 Elemente.
	Das kleinste Element von $U$ ist 4.
	Das größte Element von $U$ ist 14.

	$V$ beinhaltet 2 Elemente.
	$V$ beinhaltet 4 Elemente.
	Das kleinste Element von $V$ ist 4.
	Das größte Element von $V$ ist 14.

	$W$ beinhaltet 2 Elemente.
	$W$ beinhaltet 4 Elemente.
	Das kleinste Element von $W$ ist 4.
	Das größte Element von $W$ ist 14.

	$P$ beinhaltet alle Zweierpotenzen.
	$P$ beinhaltet alle Primzahlen.
	$P$ beschreibt die leere Menge \(\phi\) .
	$P$ ist identisch mit der Grundmenge $G = {1,2, ... , 15}$.