Aufgabe 4.7: Mehrere parallele Gaußkanäle

Einige häufig verwendete Signalraumkonstellationen

Die Kanalkapazität des AWGN–Kanals ⇒ $Y = X + N$ wurde im Theorieteil wie folgt angegeben
(mit der Zusatz–Einheit „bit”):

$$C_{\rm AWGN}(P_X) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {P_X}/{P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$

Die verwendeten Größen haben folgende Bedeutung:

$P_X$ ist die Sendeleistung ⇒ Varianz der Zufallsgröße $X$,
$P_N$ ist die Störleistung ⇒ Varianz der Zufallsgröße $N$.

Werden $K$ identische Gaußkanäle parallel genutzt, so gilt für die Gesamtkapazität:

$$C_K(P_X) = K \cdot C_{\rm AWGN}(P_X/K) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass

in jedem Kanal die gleiche Störleistung $P_N$ vorliegt,
somit jeder Kanal die gleiche Sendeleistung erhält,
die Gesamtleistung genau wie im Fall $K = 1$ gleich $P_X$ ist.

In nebenstehender Grafik sind die Signalraumpunkte für einige digitale Modulationsverfahren angegeben:

Amplitude Shift Keying (ASK),
Binary Phase Shift Keying (BPSK),
Quadratur-Amplitudenmodulation (hier: 4-QAM),
Phase Shift Keying (hier: 8–PSK für GSM Evolution),
Kombinierte ASK/PSK-Modulation (hier: 16-ASK/PSK).

Zu Beginn dieser Aufgabe ist zu prüfen, welcher $K$–Parameter für die einzelnen Verfahren gültig ist.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Parallele Gaußkanäle.
Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird „log₂” verwendet.

Fragebogen

$K \ = \ $

$\text{(bei ASK)}$

$K \ = \ $

$\text{(bei BPSK)}$

$K \ = \ $

$\text{(bei 4-QAM)}$

$K \ = \ $

$\text{(bei 8-PSK)}$

$K \ = \ $

$\text{(16-ASK/PSK)}$

	Es gilt $C_K = K/2 \cdot \log_2 [1 + P_X/P_N]$.
	Es gilt $C_K = K/2 \cdot \log_2 [1 + P_X/(K \cdot P_N)]$.
	Es gilt $C_K = 1/2 \cdot \log_2 [1 + P_X/P_N]$.

$K = 1\text{:} \ \ C_K \ = \ $

$\ \rm bit$

$K = 2\text{:} \ \ C_K \ = \ $

$\ \rm bit$

$K = 4\text{:} \ \ C_K \ = \ $

$\ \rm bit$

	Ja: Die größte Kanalkapazität ergibt sich für $K = 2$.
	Ja: Die größte Kanalkapazität ergibt sich für $K = 4$.
	Nein: Je größer $K$, desto größer ist die Kanalkapazität.
	Der Grenzwert für $K \to \infty$ (in bit) ist $C_K = P_X/P_N/2/\ln (2)$ in „bit”.

Musterlösung

(1) Der Parameter K ist gleich der Dimension der Signalraumdarstellung:

Für ASK und BPSK ist K = 1.
Für die Konstellationen 3 bis 5 gilt dagegenK = 2 (orthogonale Modulation mit Cosinus und Sinus).

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Für jeden der Kanäle (1 ≤ k ≤ K) beträgt die Kanalkapazität C_k = 1/2 · log₂ (1 + (P_X/k)/P_N). Die Gesamtkapazität ist dann um den Faktor K größer:

$$C_K(P_X) = \sum_{k= 1}^K \hspace{0.1cm}C_k = \frac{K}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \frac{P_X}{K \cdot P_N} \right )\hspace{0.05cm}.$$

Der Lösungsvorschlag 1 ist zu positiv. Dieser würde bei Begrenzung der Gesamtleistung auf K · P_X gelten.
Der Vorschlag 3 würde dagegen bedeuten, dass man durch die Nutzung mehrerer unabhängiger Kanäle keine Kapazitätssteigerung erreicht, was offensichtlich nicht zutrifft.

Kanalkapazität C_K von K parallelen Gaußkanälen für verschiedene P_X/P_N

(3) Die Tabelle zeigt die Ergebnisse für K = 1, K = 2 und K = 4 und verschiedene Signal–zu–Störleistungsverhältnisse ⇒ ξ = P_X/P_N.

Für P_X/P_N = 15 (markierte Spalte) ergibt sich:

K = 1: C_K = 1/2 · log₂ (16) = 2.000 bit,
K = 2: C_K = 1 · log₂ (8.5) = 3.087 bit,
K = 4: C_K = 2 · log₂ (4.75) = 4.496 bit.

(4) Richtig sind die Vorschläge 3 und 4, wie die folgenden Rechnungen zeigen:

Schon aus obiger Tabelle ist ersichtlich, dass der erste Lösungsvorschlag falsch sein muss.
Wir schreiben nun die Kanalkapazität mit „ln” und der Abkürzung ξ = P_X/P_N:

$$C_{\rm nat}(\xi, K) ={K}/{2} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + {\xi}/{K} \right )\hspace{0.05cm}.$$

Für große K–Werte, also für kleine Werte des Quotienten ε = ξ/K gilt dann:

$${\rm ln}\hspace{0.05cm}\left ( 1 + \varepsilon \right )= \varepsilon - \frac{\varepsilon^2}{2} + \frac{\varepsilon^3}{3} - ... \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm nat}(\xi, K) = \frac{K}{2} \cdot \left [ \frac{\xi}{K} - \frac{\xi^2}{2K^2} + \frac{\xi^3}{3K^3} - \text{...} \right ]$$

$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C_{\rm bit}(\xi, K) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ 1 - \frac{\xi}{2K} + \frac{\xi^2}{3K^2} -\frac{\xi^3}{4K^3} + \frac{\xi^4}{5K^4} - \text{...} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Für K → ∞ ergibt sich der vorgeschlagene Wert:

$$C_{\rm bit}(\xi, K \rightarrow\infty) = \frac{\xi}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} = \frac{P_X/P_N}{2 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(2)} \hspace{0.05cm}.$$

Für kleinere Werte von K ergibt sich stets ein kleinerer C–Wert, da

$$\frac{\xi}{2K} > \frac{\xi^2}{3K^2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \frac{\xi^3}{4K^3} > \frac{\xi^4}{5K^4} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} {\rm usw.}$$

Die letzte Zeile obiger Tabelle zeigt, dass man für große ξ–Werte mit K = 4 noch weit vom theoretischen Maximum (für K → ∞) entfernt ist.