Aufgabe 4.1: PCM–System 30/32

Binärdarstellung mit Dualcode

Über viele Jahre wurde in Deutschland das PCM–System 30/32 eingesetzt, das folgende Spezifikationen aufweist:

Es erlaubt die digitale Übertragung von 30 Sprachkanälen im Zeitmultiplex zusammen mit je einem Sychronisations– und Wählzeichenkanal ⇒ die Gesamtkanalzahl ist $Z = 32$.
Jeder einzelne Sprachkanal ist auf den Frequenzbereich von $300 \ \rm Hz$ bis $3400 \ \rm Hz$ bandbegrenzt.
Jeder einzelne Abtastwert wird durch $N = 8$ Bit dargestellt, wobei vom so genannten Dualcode ausgegangen wird.
Die Gesamtbitrate beträgt $R_{\rm B} = 2.048 \ \rm Mbit/s$.

Die Grafik zeigt die Binärdarstellung zweier willkürlich ausgewählter Abtastwerte.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Pulscodemodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite PCM-Codierung und -Decodierung.

Für die Lösung der Teilaufgabe (2) ist vorauszusetzen, dass alle Sprachsignale normiert und auf den Bereich $±1$ amplitudenbegrenzt sind.

Fragebogen

$M \ = \ $

	der Bitfolge 1,
	der Bitfolge 2,
	keiner von beiden.

$T_{\rm B} \ = \ $

$\ \rm µ s$

$T_{\rm A} \ = \ $

$\ \rm µ s$

$f_{\rm A} \ = \ $

$\ \rm kHz$

	Das Abtasttheorem wird nicht erfüllt.
	Das Abtasttheorem wird gerade noch erfüllt.
	Die Abtastfrequenz ist größer als der kleinstmögliche Wert.

Musterlösung

(1) Mit $N = 8$ Bit können insgesamt $2^8$ Quantisierungsintervalle dargestellt werden ⇒ $\underline{M = 256}$.

(2) Nummeriert man die Quantisierungsintervalle von $0$ bis $255$, so steht die „Bitfolge 1” für

$$ \mu_1 = 2^7 + 2^5 +2^4 +2^2 +2^1 +2^0 = 255 -2^6 -2^3 = 183\hspace{0.05cm},$$

und die „Bitfolge 2” für

$$\mu_2 = 2^6 + 2^5 +2^3 = 104\hspace{0.05cm}.$$

Mit dem Wertebereich $±1$ hat jedes Quantisierungsintervall die Breite ${\it Δ} = 1/128$.
Der Index $μ = 183$ steht somit für das Intervall von $183/128 - 1 = 0.4297$ bis $184/128 - 1 = 0.4375$, während $μ = 104$ das Intervall von $-0.1875$ bis $-0.1797$ kennzeichnet.
Der Abtastwert $–0.182$ wird somit durch die Bitfolge 2 dargestellt.

(3) Die Bitdauer $T_{\rm B}$ ist der Kehrwert der Bitrate $R_{\rm B}$:

$$T_{\rm B} = \frac{1}{R_{\rm B} }= \frac{1}{2.048 \cdot 10^6\,{\rm 1/s} } \hspace{0.15cm}\underline {= 0.488\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Während der Zeitdauer $T_{\rm A}$ werden $Z · N$ Binärsymbole übertragen:

$$T_{\rm A} = Z \cdot N \cdot {T_{\rm B} } = 32 \cdot 8 \cdot 0.488\,{\rm \mu s} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Den Kehrwert von $T_{\rm A}$ bezeichnet man als die Abtastrate:

$$f_{\rm A} = \frac{1}{T_{\rm A} } \hspace{0.15cm}\underline {= 8\,{\rm kHz}} \hspace{0.05cm}.$$

(6) Das Abtasttheorem wäre bereits erfüllt, wenn $f_{\rm A} ≥ 2 · f_\text{N,max} = 6.8 \ \rm kHz$ gelten würde. Richtig ist somit der letzte Lösungsvorschlag.