Aufgabe 4.2: Tiefpass zur Signalrekonstruktion
Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei verschiedene Quellensignale $q_{\rm kon}(t)$ und $q_{\rm dis}(t)$, deren Betragsspektren $|Q_{\rm kon}(f)|$ und $|Q_{\rm dis}(f)|$ grafisch dargestellt sind. Die höchste in den Signalen vorkommende Frequenz ist jeweils $4 \ \rm kHz$.
- Von der Spektralfunktion $Q_{\rm kon}(f)$ ist nicht mehr bekannt, als dass es sich um ein kontinuierliches Spektrum handelt, wobei gilt:
- $$Q_{\rm kon}(|f| \le 4\,{\rm kHz}) \ne 0 \hspace{0.05cm}.$$
- Das Spektrum $Q_{\rm dis}(f)$ beinhaltet Spektrallinien bei $±1 \ \rm kHz$, $±2 \ \rm kHz$, $±3 \ \rm kHz$ und $±4 \ \rm kHz$. Somit gilt:
- $$q_{\rm dis}(t) = \sum_{i=1}^{4}C_i \cdot \cos (2 \pi \cdot f_i \cdot t - \varphi_i),$$
- Amplitudenwerte: $C_1 = 1.0 \ \rm V$, $C_2 = 1.8 \ \rm V$, $C_3 = 0.8 \ \rm V$, $C_4 = 0.4 \ \rm V.$
- Die Phasenwerte $φ_1$, $φ_2$ und $φ_3$ liegen jeweils im Bereich $±18^\circ$ und es gilt $φ_4 = 90^\circ$.
Die Signale werden jeweils mit der Frequenz $f_{\rm A}$ abgetastet und sofort einem idealen, rechteckförmigen Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ zugeführt. Dieses Szenario gilt zum Beispiel für
- die störungsfreie Pulsamplitudenmodulation (PAM) und
- die störungsfreie Pulscodemodulation (PCM) bei unendlich großer Quantisierungsstufenzahl $M$.
Das Ausgangssignal des (rechteckförmigen) Tiefpasses wird als Sinkensignal $v(t)$ bezeichnet, und für das Fehlersignal gilt
- $$ε(t) = v(t) - q(t).$$
Dieses ist nur dann von Null verschieden, wenn die Parameter der Abtastung $($Abtastfrequenz $f_{\rm A})$ und/oder der Signalrekonstruktion $($Grenzfrequenz $f_{\rm G})$ nicht bestmöglich dimensioniert sind.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Pulscodemodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Abtastung und Signalrekonstruktion.
Fragebogen
Musterlösung
- Die Abtastung von $q_{\rm dis}(t)$ mit der Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$ führt zu einem irreversiblen Fehler, da $Q_{\rm dis}(f)$ einen diskreten Spektralanteil (Diraclinie) bei $f_4 = 4\ \rm kHz$ beinhaltet und der Phasenwert $φ_4 ≠ 0$ ist.
- Mit dem hier angegebenen Phasenwert $φ_4 = 90^\circ$ (4 kHz– Sinuskomponente) gilt $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) - q_{\rm dis}(t) = -0.4 \ \rm V · \sin(2π · f_4 · t)$. Siehe auch Musterlösung zur Aufgabe 4.2Z.
- Dagegen kann das Signal $q_{\rm kon}(t)$ mit dem kontinuierlichen Spektrum $Q_{\rm kon}(f)$ auch dann mit einem Rechteck–Tiefpass (mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 4\ \rm kHz$) vollständig rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz $f_{\rm A} = 8\ \rm kHz$ verwendet wurde. Für alle Frequenzen ungleich $f_4$ ist das Abtasttheorem erfüllt.
- Der Anteil der $f_4$–Komponente am gesamten Spektrum $Q_{\rm kon}(f)$ ist aber nur verschwindend klein ⇒ ${\rm Pr}(f_4) → 0$, solange das Spektrum bei $f_4$ keine Diraclinie aufweist.
(2) Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 1:
- Mit $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$ wird das Abtasttheorem in beiden Fällen erfüllt.
- Mit $f_{\rm G} = f_{\rm A} /2$ sind beide Fehlersignale $ε_{\rm kon}(t)$ und $ε_{\rm dis}(t)$ identisch Null.
- Die Signalrekonstruktion funktioniert darüber hinaus auch dann, solange $f_{\rm G} > 4 \ \rm kHz$ und $f_{\rm G} < 6 \ \rm kHz$ gilt.
(3) Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 2:
- Mit $f_{\rm G} = 3.5 \ \rm kHz$ entfernt der Tiefpass fälschlicherweise den $4\ \rm kHz$–Anteil, das heißt dann gilt:
- $$ v_{\rm dis}(t) = q_{\rm dis}(t) - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm dis}(t) = - 0.4\,{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot f_{\rm 4} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
(4) Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 3:
- Durch die Abtastung mit $f_{\rm A} = 10\ \rm kHz$ ergibt sich das rechts skizzierte periodische Spektrum.
- Der Tiefpass mit $f_{\rm G} = 6.5 \ \rm kHz$ entfernt alle diskreten Frequenzanteile mit $|f| ≥ 7\ \rm kHz$, nicht aber den $6\ \rm kHz$–Anteil.
Das Fehlersignal $ε_{\rm dis}(t) = v_{\rm dis}(t) - q_{\rm dis}(t)$ ist dann eine harmonische Schwingung mit
- der Frequenz $f_6 = f_{\rm A} - f_4 = 6\ \rm kHz$,
- der Amplitude $A_4$ des $f_4$–Anteils,
- der Phase $φ_{-4} = -φ_4$ des $Q(f)$–Anteils bei $f = -f_4$.