Zur Verdeutlichung digitaler Filter

Inhaltsverzeichnis

1 Programmbeschreibung
2 Theoretischer Hintergrund
3 Versuchsdurchführung
- 3.1 Dummy
4 Zur Handhabung des Applets
5 Über die Autoren
6 Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Programmbeschreibung

Das Applet behandelt die Systemkomponenten „Abtastung” und „Signalrekonstruktion”, zwei Komponenten, die zum Beispiel für das Verständnis der Pulscodemodulation $({\rm PCM})$ von großer Wichtigkeit sind. Die obere Grafik zeigt das für dieses Applet zugrundeliegende Modell. Darunter gezeichnet sind die Abtastwerte $x(\nu \cdot T_{\rm A})$ des zeitkontinuierlichen Signals $x(t)$. Die (unendliche) Summe über alle diese Abtastwerte bezeichnen wir als das abgetastete Signal $x_{\rm A}(t)$.

Beim Sender wird aus dem zeitkontinuierlichen Quellensignal $x(t)$ das zeitdiskrete (abgetastete) Signal $x_{\rm A}(t)$ gewonnen. Man nennt diesen Vorgang Abtastung oder A/D–Wandlung.
Der entsprechende Programmparameter für den Sender ist die Abtastrate $f_{\rm A}= 1/T_{\rm A}$. In der unteren Grafik ist der Abtastabstand $T_{\rm A}$ eingezeichnet.
Beim Empfänger wird aus dem zeitdiskreten Empfangssignal $y_{\rm A}(t)$ das zeitkontinuierliche Sinkensignal $y(t)$ erzeugt ⇒ Signalrekonstruktion oder D/A–Wandlung entsprechend dem Empfänger–Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$.

Das Applet berücksichtigt nicht die PCM–Blöcke „Quantisierung”, „Codierung / Decodierung” und der Digitale Übertragungskanal ist als ideal angenommen.

Theoretischer Hintergrund

Allgemeines Blockschaltbild

Jedes Signal $x(t)$ kann an einem Rechner nur durch die Folge $〈x_ν〉$ seiner Abtastwerte dargestellt werden, wobei $x_ν$ für $x(ν · T_{\rm A})$ steht.

Blockschaltbild eines digitalen (IIR–) Filters $M$–Ordnung

Der zeitliche Abstand $T_{\rm A}$ zwischen zwei Abtastwerten ist dabei durch das Abtasttheorem nach oben begrenzt.
Wir beschränken uns hier auf kausale Signale und Systeme, das heißt, es gilt $x_ν \equiv 0$ für $ν \le 0$.

Um den Einfluss eines linearen Filters mit Frequenzgang $H(f)$ auf das zeitdiskrete Eingangssignal $〈x_ν〉$ zu erfassen, bietet es sich an, auch das Filter zeitdiskret zu beschreiben. Im Zeitbereich geschieht das mit der zeitdiskreten Impulsantwort $〈h_ν〉$.
Rechts sehen Sie das entsprechende Blockschaltbild. Für die Abtastwerte des Ausgangssignals $〈y_ν〉$ gilt somit:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$$

Hierzu ist Folgendes zu bemerken:

Der Index $\nu$ bezieht sich auf Folgen, zum Beispiel Eingang $〈x_ν〉$ und Ausgang $〈y_ν〉$.
Den Index $\mu$ verwenden wir dagegen für die Kennzeichnung der $a$– und $b$–Filterkoeffizienten.
Die erste Summe beschreibt die Abhängigkeit des aktuellen Ausgangs $y_ν$ vom aktuellen Eingang $x_ν$ und von den $M$ vorherigen Eingangswerten $x_{ν-1}$, ... , $x_{ν-M}.$
Die zweite Summe kennzeichnet die Beeinflussung von $y_ν$ durch die vorherigen Werte $y_{ν-1}$, ... , $y_{ν-M}$ am Filterausgang. Sie gibt den rekursiven Teil des Filters an.
Den ganzzahligen Parameter $M$ bezeichnet man als die Ordnung des digitalen Filters. Im Programm ist dieser Wert auf $M\le 2$ begrenzt.

$\text{Definitionen:}$

(1) Man bezeichnet die Ausgangsfolge $〈y_ν〉$ als die zeitdiskrete Impulsantwort $〈h_ν〉$, wenn am Eingang die „zeitdiskrete Diracfunktion” anliegt:

$$〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$

(2) Man bezeichnet die Ausgangsfolge $〈y_ν〉$ als die zeitdiskrete Sprungantwort $〈\sigma_ν〉$, wenn am Eingang die „zeitdiskrete Sprungfunktion” anliegt:

$$〈x_ν〉= 〈1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, \text{...}〉 .$$

(3) Man bezeichnet die Ausgangsfolge $〈y_ν〉$ als die zeitdiskrete Recheckantwort $〈\rho_ν^{(2, 4)}〉$, wenn am Eingang die „zeitdiskrete Rechteckfunktion” anliegt:

$$〈x_ν〉= 〈0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$

In Hochkommata angegeben sind hier der Beginn der Einsen $(2)$ und die Stelle der letzten Eins $(4)$.

Nichtrekursives Filter ⇒ FIR–Filter

Nichtrekursives digitales Filter $($FIR–Filter$)$ $M$–Ordnung

$\text{Definition:}$ Sind alle Rückführungskoeffizienten $b_{\mu} = 0$, so spricht von einem nichtrekursiven Filter. Insbesondere in der englischsprachigen Literatur ist hierfür auch die Bezeichnung FIR Filter (Finite Impulse Response) gebräuchlich.

Für die Ordnung $M$ gilt:

Der Ausgangswert $y_ν$ hängt nur vom aktuellen und den $M$ vorherigen Eingangswerten ab:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$$

Zeitdikrete Impulsantwort mit $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉$:

$$〈h_\mu〉= 〈a_0,\ a_1,\ \text{...},\ a_M〉 .$$

$\text{Beispiel 1:}$ Ein Zweiwegekanal, bei dem

das Signal auf dem Hauptpfad gegenüber dem Eingangssignal ungedämpft, aber um $2\ \rm µ s$ verzögert ankommt, und
in $4\ \rm µ s$ Abstand – also absolut zur Zeit $t = 6\ \rm µ s$ – ein Echo mit halber Amplitude nachfolgt,

kann durch ein nichtrekursives Filter entsprechend obiger Skizze nachgebildet werden, wobei folgende Parameterwerte einzustellen sind:

$$M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{µ s} },\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$$

$\text{Beispiel 2:}$ Betrachtet wird ein nichtrekursives Filter mit den Filterkoeffizienten $a_0 = 1,\hspace{0.5cm} a_1 = 2,\hspace{0.5cm} a_2 = 1.$

Nichtrekursives Filter

(1) Die herkömmliche Impulsantwort lautet: $h(t) = \delta (t) + 2 \cdot \delta ( {t - T_{\rm A} } ) + \delta ( {t - 2T_{\rm A} } ).$
⇒ Zeitdiskrete Impulsantwort: $〈h_\mu〉= 〈1,\ 2,\ 1〉 .$

(2) Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte von $h(t)$. Durch Anwendung des Verschiebungssatzes:

$$H(f) = 2\big [ {1 + \cos ( {2{\rm{\pi }\cdot }f \cdot T_{\rm A} } )} \big ] \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }fT_{\rm A} }\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}H(f = 0) = 4.$$

(3) Daraus folgt: Die zeitdiskrete Sprungantwort $〈\sigma_ν〉$ tendiert für große $\nu$ gegen $4$.

(4) Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$ mit $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ ergibt

$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;2,\;1,\;0,\;1,\;2,\;1,\;0,\;0,\;0,\;0,\; \text{...} \;} \right\rangle. $$

(5) Die zeitdiskrete Faltung der Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$ mit $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ ergibt

$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;3,\;3,\;1,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\; \text{...} \;} \right\rangle. $$

Rekursives Filter ⇒ IIR–Filter

Rekursives Filter erster Ordnung

$\text{Definition:}$

Ist zumindest einer der Rückführungskoeffizienten $b_{\mu} \ne 0$, so spricht von einem rekursiven Filter (siehe rechte Grafik). Insbesondere in der englischsprachigen Literatur ist hierfür auch die Bezeichnung IIR Filter (Infinite Impulse Response) gebräuchlich. Dieses Filter wird in der Verrsuchsdurchführung ausführlich behandelt.

Sind zusätzlich alle Vorwärtskoeffizienten identisch $a_\mu = 0$ mit Ausnahme von $a_0$, so liegt ein rein rekursives Filter vor (siehe linke Grafik).

Rein rekursives Filter erster Ordnung

Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall „Rein rekursives Filter erster Ordnung”. Dieses Filter weist folgende Eigenschaften auf:

Der Ausgangswert $y_ν$ hängt (indirekt) von unendlich vielen Eingangswerten ab:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot x_{\nu - \mu } .}$$

Dies zeigt die folgende Rechung:

$$y_\nu = a_0 \cdot x_\nu + b_1 \cdot y_{\nu - 1} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + {b_1} ^2 \cdot y_{\nu - 2} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + a_0 \cdot {b_1} ^2 \cdot x_{\nu - 2} + {b_1} ^3 \cdot y_{\nu - 3} = \text{...}. $$

Die zeitdiskrete Impulsantwort ist definitionsgemäß der Ausgangsfolge, wenn am Eingang eine einzelne „Eins” bei $t =0$ anliegt.

$$h(t)= \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉= 〈\hspace{0.05cm}a_0, \ a_0\cdot {b_1}, \ a_0\cdot {b_1}^2 \ \text{...} \hspace{0.05cm}〉.$$

$\text{Fazit:}$ Bei einem rekursiven Filter reicht die (zeitdiskrete) Impulsantwort schon mit $M = 1$ bis ins Unendliche:

Aus Stabilitätsgründen muss $b_1 < 1$ gelten.
Bei $b_1 = 1$ würde sich die Impulsantwort $h(t)$ bis ins Unendliche erstrecken und bei $b_1 > 1$ würde $h(t)$ sogar bis ins Unendliche anklingen.
Bei einem solchen rekursiven Filter erster Ordnung ist jede einzelne Diraclinie genau um den Faktor $b_1$ kleiner als die vorherige Diraclinie:

$$h_{\mu} = h(\mu \cdot T_{\rm A}) = {b_1} \cdot h_{\mu -1}.$$

Zeitdiskrete Impulsantwort

$\text{Beispiel 3:}$ Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort $〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉$ eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern $a_0 = 1$ und $b_1 = 0.6$.

Der Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche.
Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinander folgender Diracs ist jeweils $b_1 = 0.6$.

Rekursives Filter als Sinus–Generator

Vorgeschlagene Filterstruktur ändern auf $T_{\rm A}$

Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor (DSP) geeignet ist, wenn die Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ eine (zeitdiskrete) Diracfunktion ist:

$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle = \left\langle {\, \sin ( {\nu \cdot T_{\rm A} \cdot \omega _0 } )\, }\right\rangle .$$

Die fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der $Z$-Transformation:

$$Z \{ {\sin ( {\nu T{\rm A}\cdot \omega _0 } )} \} = \frac{{z \cdot \sin \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right)}}{{z^2 - 2 \cdot z \cdot \cos \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right) + 1}}.$$

Nach Umsetzung dieser Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung erhält man folgende Filterkoeffizienten:

$$a_0 = 0,\quad a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right),\quad a_2 = 0, \quad b_1 = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0 \cdot T_{\rm A}} \right),\quad b_2 = - 1.$$

Auf die Filterkoeffizienten $a_0$ und $a_2$ kann verzichtet werden und $b_2=-1$ hat einen festen Wert.
Die Kreisfrequenz $\omega_0$ der Sinusschwingung wird also nur durch $a_0$ und $a_0$ festelegt.

$\text{Beispiel 3:}$ Es gelte $a_1 = 0.5$, $b_1 = \sqrt 3$, $x_0 = 1$ und $x_{\nu \hspace{0.05cm}\ne\hspace{0.05cm} 0} = 0$.

(1) Dann gilt für die Ausgangswerte $y_\nu$ zu den Zeitpunkten $\nu \ge 0$:

$y_0 = 0;$
$y_1 = 0.5$ ⇒ die „$1$” am Eingang wirkt sich wegen $a_0= 0$ am Ausgang erst zum Zeitpunkt $\nu = 1$ aus;
$y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \approx 0.866$ ⇒ bei $\nu = 2$ wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam;
$y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1$ ⇒ für $\nu \ge 2$ ist das Filter rein rekursiv: $y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2}$;
$y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$
$y_5 = \sqrt 3 \cdot y_4 - y_3 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - 1 = 0.5;$
$y_6 = \sqrt 3 \cdot y_5 - y_4 = \sqrt 3 \cdot {1}/{2} - {\sqrt 3 }/{2} = 0;$
$y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} = - 0.5.$

(2) Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses erhält man für große $\nu$–Werte: $y_\nu = y_{\nu - 12} $ ⇒ $T_0/T_{\rm A}= 12.$

Daraus folgt $T_0/T\hspace{0.15cm} \underline{= 12}$. Zum gleichen Ergebnis kommt man durch folgende Überlegungen:

$$a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T} \right) = \sin \left( {2{\rm{\pi } }\cdot{T}/{T_0 } } \right)\mathop = \limits^! {1}/{2} = \sin \left( { { {\rm{\pi } } }/{6} } \right) \;\;{\rm \Rightarrow} \;\;{2T}/{T_0 } = {1}/{6}\quad \Rightarrow \;\;{T_0 }/{T} = 12.$$

Die Überprüfung des Koeffizienten $b_1$ bestätigt die Rechnung:

$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( { { {\rm{\pi } } }/{6} } \right) = 2 \cdot c{\sqrt 3 }/{2} = \sqrt 3 .$$

{Wie viele Stützstellen $(T_0/T)$ stellen eine Periodendauer $(T_0)$ dar? |type="{}"} $T_0/T\ = \ $ { 12 3% }

{Es gelte nun $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$. Wie müssen die Koeffizienten $a_1$ und $b_1$ gewählt werden, damit eine $\text{10 kHz}$–Sinusschwingung erzeugt wird? |type="{}"} $a_1 \ = \ $ { 0.062 3% } $b_1 \ = \ $ { 1.996 3% }

(3) Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses der Teilaufgabe (2) erhält man für große $\nu$–Werte:

$$y_\nu = y_{\nu - 12} .$$

Daraus folgt $T_0/T\hspace{0.15cm} \underline{= 12}$. Zum gleichen Ergebnis kommt man durch folgende Überlegungen:

$$a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T} \right) = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right)\mathop = \limits^! {1}/{2} = \sin \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) \;\;{\rm \Rightarrow} \;\;{2T}/{T_0 } = {1}/{6}\quad \Rightarrow \;\;{T_0 }/{T} = 12.$$

Die Überprüfung des Koeffizienten $b_1$ bestätigt die Rechnung:

$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) = 2 \cdot c{\sqrt 3 }/{2} = \sqrt 3 .$$

(4) Aus $f_0 = 10 \hspace{0.05cm} \rm kHz$ folgt $T_0 = 100 \hspace{0.05cm} \rm µ s$ bzw. $T_0/T = 100$ . Damit erhält man:

$$a_1 = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = \sin \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.062},$$

$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = 2 \cdot \cos \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.996}.$$

Versuchsdurchführung

Wählen Sie zunächst die Nummer 1 ... ? der zu bearbeitenden Aufgabe.
Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”: Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.

Noch ersetzen In den folgenden Aufgabenbeschreibungen werden folgende Kurzbezeichnungen verwendet:

Rot: Regressionsgerade $R_{Y \to X}$ (im Applet rot gezeichnet),
Blau: Regressionsgerade $R_{X \to Y}$ (im Applet blau gezeichnet).

bis hierher

(1) Die Filterkoeffizienten seien $a_0=0.25$, $a_1=0.5$, $a_2=0.25$, $b_1=b_2=0$. Um welches Filter handelt es sich?
Interpretieren Sie die Impulsantwort $〈h_ν〉$, die Sprungantwort $〈\sigma_ν〉$ und die Rechteckantwort $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$ jeweils in zeitdiskreter Darstellung.

Aufgrund der fehlenden $b$–Koeffizienten handelt es sich um ein nichtrekursives digitales Filter ⇒ FIR–Filter (Finite impulse Response).
Die Impulsantwort setzt sich aus $M+1=3$ Diraclinien gemäß den $a$–Koeffizienten zusammen: $〈h_ν〉= 〈a_0, \ a_1,\ a_2〉= 〈0.25, \ 0.5,\ 0.25,\ 0, \ 0, \ 0,\text{...}〉 $.
Die Sprungantwort lautet: $〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1,\text{...}〉 $. Der Endwert ist gleich dem Gleichsignalübertragungsfaktor $H(f=0)=a_0+a_1+a_2 = 1$.
Die Verzerrungen bei Anstieg und Abfall erkennt man auch aus der Rechteckantwort $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉= 〈0,\ 0, 0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1, \ 1, \ 0.75, \ 0.25, \ \text{...}〉$.

(2) Wie unterscheiden sich die Ergebnisse mit $a_2=-0.25$?

Unter Berücksichtigung von $H(f=0)= 0.5$ ergeben sich vergleichbare Folgen ⇒ Sprungantwort: $〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 0.5,\ 0.5, \ 0.5, \ 0.5,\text{...}〉 $.

(3) Nun seien die Filterkoeffizienten $a_0=1$, $b_1=0.9$ sowie $a_1=a_2= b_2=0$. Um welches Filter handelt es sich? Interpretieren Sie die Impulsantwort $〈h_ν〉$.

Es handelt sich um ein rekursives digitales Filter ⇒ IIR–Filter (Infinite impulse Response) erster Ordnung. Es ist das zeitdiskrete Analogon zum RC–Tiefpass.
Ausgehend von $h_0= 1$ gilt $h_1= h_0 \cdot b_0= 0.9$, $h_2= h_1 \cdot b_0= b_0^2=0.81$, $h_3= h_2 \cdot b_0= b_0^3=0.729$, usw. ⇒ $〈h_ν〉$ reicht bis ins Unendliche.
Impulsantwort $h(t) = {\rm e}^{-t/T}$ mit $T$: Schnittpunkt $($Tangente bei $t=0$, Abszisse$)$ ⇒ $h_\nu= h(\nu \cdot T_{\rm A}) = {\rm e}^{-\nu/(T/T_{\rm A})}$ mit $T/T_{\rm A} = 1/(h_0-h_1)= 10$.

(4) Die Filtereinstellung wird beibehalten. Interpretieren Sie die Sprungantwort $〈h_ν〉$ und die Rechteckantwort $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$. Welcher Wert ergibt sich für $H(f=0)$?

Die Sprungantwort ist das Ingral über die Impulsantwort $\sigma(t) = T \cdot (1-{\rm e}^{-t/T}) ]$ ⇒ $\sigma_\nu= 10 \cdot (1-{\rm e}^{-\nu/10})$ ⇒ $\sigma_0=1$, $\sigma_1=1.9$, $\sigma_2=2.71$, ...
Für große $\nu$–Werte tendiert die (zeitdiskrete) Sprungantwort gegen den Gleichsignalübertragungsfaktor $H(f=0)= 10$: $\sigma_{40}=9.867$, $\sigma_{50}=9.954$, $\sigma_\infty=10$.
Die Rechteckantwort $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$ steigt mit einer Verzögerung von $2$ in gleicher Weise an wie $〈\sigma_ν〉$. Im Bereich $\nu \ge 8$ fallen die $\rho_ν$– Werte exponentiell ab.

(5) Wir betrachten weiterhin das Filter mitnbsp; $a_0=1$, $b_1=0.9$, $a_1=a_2= b_2=0$. Welche Ausgangsfolge $〈y_ν〉$ für die Eingangsfolge $〈x_ν〉= 〈1,\ 0.,\ -0.5〉$?
Hinweis: Die Aufgabe lässt sich ebenfalls mit diesem Programm lösen, obwohl die hier betrachtete Konstellation nicht direkt einstellbar ist.

Man behilft sich, indem man den Koeffizienten $a_2=-0.5$ setzt und dafür die Eingangsfolge auf $〈x_ν〉= 〈1,\ 0.,\ 0.,\ \text{ ...}〉$ ⇒ „Diracfunktion” reduziert.
Die tatsächliche Impulsantwort dieses Filters $($mit $a_2=0)$ wurde in Aufgabe (3) ermittelt: $h_0= 1$, $h_1= 0.9$, $h_2= 0.81$, $h_3= 0.729$, $h_4= 0.646$.
Die Lösung dieser Aufgabe lautet somit: $y_0 = h_0= 1$, $y_1= h_1= 0.9$, $y_2 =h_2-h_0/2= 0.31$, $y_3 =h_3-h_1/2= 0.279$, $y_4 =h_4-h_2/2= 0.251$.
Vorsicht: Sprungantwort und Rechteckantwort beziehen sich nun auf das fiktive Filter $($mit $a_2=-0.5)$ und nicht auf das eigentliche Filter $($mit $a_2=0)$.

(6) Betrachten und interpretieren Sie die Impulsanwort und die Sprungantwort für die Filterkoeffizienten $a_0=1$, $b_1=1$, $a_1=a_2= b_2=0$.

Das System ist instabil: Eine zeitdiskrete Diracfunktion am Eingang $($zur Zeit $t=0)$ bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs gleicher Höhe.
Eine zeitdiskrete Sprungfunktion am Eingang bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs mit monoton ansteigenden Gewichten (bis ins Unendliche).

(7) Betrachten und interpretieren Sie Impulsanwort und Sprungantwort für die Filterkoeffizienten $a_0=1$, $b_1=-1$, $a_1=a_2= b_2=0$.

Im Gegensatz zur Aufgabe (6) sind hier die Gewichte der Impulsantwort $〈h_ν〉$ nicht konstant gleich $1$, sondern alternierend $\pm 1$. Das System ist ebenfalls instabil.
Bei der Sprunganwort $〈\sigma_ν〉$ wechseln sich dagegen die Gewichte alternierend zwischen $0$ $($bei geradem $\nu)$ und $1$ $($bei ungeradem $\nu)$ ab.

Dummy

(8) Wir betrachten den „Sinusgenerator”: $a_1=0.5$, $b_1=\sqrt{3}= 1.732$, $b_2=-1.$ Vergleichen Sie die Impulsantwort mit den berechneten Werten in $\text{Beispiel 4}$.
Wie beinflussen die Parameter $a_1$ und $b_1$ die Periodendauer $T_0/T_{\rm A}$ und die Amplitude $A$ der Sinusfunktion?

$〈x_ν〉=〈1, 0, 0, \text{...}〉$ ⇒ $〈y_ν〉=〈0, 0.5, 0.866, 1, 0.866, 0.5, 0, -0.5, -0.866, -1, -0.866, -0.5, 0, \text{...}〉$ ⇒ Sinus, Periode $T_0/T_{\rm A}= 12$, Amplitude $1$.
Die Vergrößerung/Verkleinerung von $b_1$ führt zur größeren/kleineren Periodendauer $T_0/T_{\rm A}$ und zur größeren/kleineren Amplitude $A$. Es muss $b_1 < 2$ gelten. Stimmt das?
$a_1$ beinflusst nur die Amplitude, nicht die Periodendauer. Für $a_1$ gibt es keine Wertebegrenzumg. Bei negativem $a_1$ ergibt sich die Minus–Sinusfunktion.

(9) Die Grundeinstellung bleibt erhalten. Mit welchen $a_1$ und $b_1$ ergibt sich eine Sinusfunktion mit Periodendauer $T_0/T_{\rm A}=16$ und Amplitude $A=1$?

Durch Probieren erreicht man mit $b_1= 1.8478$ tatsächlich die Periodendauer $T_0/T_{\rm A}=16.$ Allerdings erhöht sich dadurch die Amplitude auf $A=1.307$.
Die Anpassung des Parameters $a_1= 0.5/1.307=0.3826$ führt dann zur gewünschten Amplitude $A=1$.

Zur Handhabung des Applets

(A) Vorauswahl für blauen Parametersatz

(B) Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider

(C) Vorauswahl für roten Parametersatz

(D) Parametereingabe $\lambda$ per Slider

(E) Graphische Darstellung der Verteilungen

(F) Momentenausgabe für blauen Parametersatz

(G) Momentenausgabe für roten Parametersatz

(H) Variation der grafischen Darstellung

$\hspace{1.5cm}$„$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ „$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ „$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ „$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

( I ) Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$

(J) Bereich für die Versuchsdurchführung

Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung:

Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

Die erste Version wurde 2005 von Bettina Hirner im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
2020 wurde das Programm von Veronika Hofmann (Ingenieurspraxis Mathematik, Betreuer: Benedikt Leible und Tasnád Kernetzky ) unter „HTML5” neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Applet in neuem Tab öffnen