Aufgabe 4.3: Natürliche und diskrete Abtastung

Zur natürlichen und diskreten Abtastung

Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals $q(t)$ mit einem Diracpuls $p_δ(t)$ beschreiben:

$$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$

Diracimpulse – unendlich schmal und unendlich hoch – und dementsprechend auch der Diracpuls $p_δ(t)$ lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren. Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls $p_{\rm R}(t)$ ausgegangen werden, wobei folgender Zusammenhang gilt:

$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm} g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Die Dauer $T_{\rm R}$ eines Rechteckimpulses $g_{\rm R}(t)$ sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte.

In der Grafik ist dieses Verhältnis mit $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$ sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der „natürlichen Abtastung” und der „diskreten Abtastung” besonders deutlich werden zu lassen:

Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal $q_{\rm A}(t)$ gleich dem Produkt aus Rechteckpuls $p_{\rm R}(t)$ und analogem Quellensignal $q(t)$:

$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$

Dagegen lautet die entsprechende Gleichung für die diskrete Abtastung:

$$ q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \cdot q(t)\right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik sind diese Signale in blau (natürliche Abtastung) bzw. grün (diskrete Abtastung) skizziert.

Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass $H(f)$ mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$ und der Verstärkung $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ im Durchlassbereich eingesetzt:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Pulscodemodulation".
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite "Natürliche und diskrete Abtastung".
Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$.
Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Das Spektrum des Rechteckimpulses $g_{\rm R}(t)$ mit Amplitude $1$ und Dauer $T_{\rm R}$ lautet:

$$ G_{\rm R}(f) = T_{\rm R} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} {\rm si}(x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{T_{\rm A}} =\frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$

(2) Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:

Aus der angegebenen Gleichung im Zeitbereich ergibt sich mit dem Faltungssatz:

$$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}}\cdot P_{\rm \delta}(f) \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$

Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung (mit einem Diracpuls) und der letzte bei diskreter Abtastung.

(3) Die Antwort ist JA:

Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses

$$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$

Bei erfülltem Abtasttheorem und richtigem Tiefpass liegen von den unendlich vielen Faltungsprodukten nur das Faltungsprodukt mit $μ = 0$ im Durchlassbereich.
Unter Berücksichtigung des Verstärkungsfaktors $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ erhält man somit für das Spektrum am Filterausgang:

$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \left [ \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{{T_{\rm A}}} \cdot \delta(f )\right ] \star Q(f)= Q(f) \hspace{0.05cm}.$$

(4) Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag.

Verlagert man den Faktor $1/T_{\rm A}$ zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:

$$ q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \big [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \big ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$

(5) Die Antwort ist NEIN:

Die Gewichtungsfunktion $G_{\rm R}(f)$ betrifft nun auch den inneren Kern $(μ = 0)$ des Faltungsproduktes.
Alle anderen Terme $(μ ≠ 0)$ werden durch den Tiefpass eliminiert. Man erhält hier im relevanten Bereich $|f| < f_{\rm A}/2$:

$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$

Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor, so werden die höheren Frequenzen entsprechend der $\rm si$–Funktion gedämpft.
Die höchste Signalfrequenz $(f = f_{\rm A}/2)$ wird hierbei am stärksten abgesenkt:

$$V(f = f_{\rm A}/2) = Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}( \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})= Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}(\frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4})\approx 0.9 \cdot Q( f_{\rm A}/2) \hspace{0.05cm}.$$

	Es gilt $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$.
	Es gilt $Q_{\rm A}(f) = \big[{\rm δ}(f) · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})\big] ∗ Q(f)$.
	Es gilt $Q_{\rm A}(f) = \big[P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)\big] · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})$.

	Ja.
	Nein.

	Ja.
	Nein.