Aufgabe 1.8Z: Cosinus-Quadrat-Tiefpass

Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal x(t) = T · δ(t) aus, so dass X(f) = T gilt. Das Ausgangsspektrum Y(f) ist dann formgleich mit dem Gesamtfrequenzgang von Sende– und Empfangsfilter:

$$H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$

Dieser wird häufig als cos²–förmig angenommen (siehe Grafik). Für |f · T| > 1 ist H(f) = 0. Im inneren Bereich gilt:

$$H(f) = \cos^2(f \cdot T \cdot \frac{\pi}{ 2} ) .$$

Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite Δf = 1/T betragen soll. Damit ist die äquivalente Dauer Δt der Impulsantwort ebenfalls T und man erhält:

$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2}.$$

Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal y(t) im Gegensatz zur Impulsantwort h(t) ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:

$$y(t) = \frac{\pi}{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T} )\cdot \left[ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right) \right)+ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right) \right)\right].$$

Wählen Sie bei den nachfolgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.

Für die Teilaufgabe c) soll vorausgesetzt werden, dass das Signal s(t) in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen H_S(f) und H_E(f) ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:

$$H_{\rm S}(f) = {\rm si }(\pi f T ) .$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.3. Sie können Ihre Ergebnisse mit folgendem Interaktionsmodul überprüfen:

Tiefpässe im Frequenz- und Zeitbereich

Fragebogen

$y(t = 0)$ =

$y(t = T)$ =

$y(t = 0.5 T)$ =

$y(t = 1.5 T)$ =

$y(t = 10.75 T)$ =

$\cdot \ 10^{-4}$

$H_E(f=0)$ =

$H_E(f=0.5/T)$ =

$H_E(f=1/T)$ =

Musterlösung

1. Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der si–Funktion direkt y(t = 0) = 1 und y(t = T) = y(t = 2T) = ... = 0. Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise

$$y(t = 0) = \frac{\pi}{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right] \\ = \frac{\pi}{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$

$$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}\frac{\pi}{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rm si}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right] \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

2. Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:

$$y(t = T/2) = \frac{\pi}{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \left[ {\rm si}(\pi)+ {\rm si}(0)\right].$$

Mit si(0) = 1 und si(π) = 0 erhält man so:

$$y(t = T/2) = \frac{\pi}{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)= \frac{\pi}{4} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$

In analoger Weise ergibt sich für t = 1.5T:

$$y(t = 1.5T) = \frac{\pi}{4} \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[ {\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$

Hierbei ist si(π) = si(2π) = 0 berücksichtigt. Zu den Zeitpunkten t/T = 2.5, 3.5, ... ist y(t) ebenfalls 0, wie die nachfolgende Grafik zeigt.

3. Für große Werte von t gilt näherungsweise (wenn man die „1” im Nenner vernachlässigt):

$$y(t) = \frac {\sin(\pi \cdot t / T )\cdot \cos(\pi \cdot t / T )}{ - (\pi \cdot t/T )(2 \cdot t/T )^2} = - \frac {\sin(2\pi \cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass sin(α) · cos(α) = sin(2α)/2 ist. Zum Zeitpunkt t = 10.75 T gilt:

$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1.$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.32 \cdot 10^{-4}}.$$

4. Der Empfängerfrequenzgang lautet für |f · T| ≤ 1:

$$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$

Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:

$$H_{\rm E}(f = 0) = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$

$$H_{\rm E}(f = \frac{1}{2T}) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2} =\\ = \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$

$$H_{\rm E}(f = \frac{1}{T}) = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich H_S(f) ≥ H(f) gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch–exakt bestimmt werden.