Aufgabe 3.5Z: Nochmals Kullback-Leibler-Distanz
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:
$$P_Y(X) = [\hspace{0.03cm}0.25\hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0.25\hspace{0.03cm},\hspace{0.03cm} 0.25 \hspace{0.03cm}, \hspace{0.03cm} 0.25\hspace{0.03cm}]\hspace{0.05cm}$$ Die Zufallsgröße $X$ ist also gekennzeichnet
- durch den Symbolumfang $M=4$,
- mit gleichen Wahrscheinlichkeiten.
Die Zufallsgröße $Y$ ist stets eine Näherung für $X$. Sie wurde per Simulation aus einer Gleichverteilung gewonnen, wobei jeweils nur $N$ Zufallswerte ausgewertet wurden. Das heißt: $P_Y(1)$,...,$P_Y(4)$ sind im herkömmlichen Sinn keine Wahrscheinlichkeiten. Sie beschreiben vielmehr relative Häufigkeiten.
Das Ergebnis der sechsten Versuchsreihe (mit $N=1000$) ird demnach durch die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion zusammengefasst:
$$P_Y(X) = [\hspace{0.05cm}0.225\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0.253\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0.250 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 0.272\hspace{0.05cm}] \hspace{0.05cm}$$ Bei dieser Schreibweise ist bereits berücksichtigt, dass die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ auf dem gleichen Alphabet $X =$ {1, 2, 3, 4} basieren.
Mit diesen Voraussetzungen gilt für die relative Entropie (englisch: Informational Divergence) zwischen den Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(.)$ und $P_Y(.)$ :
$D( P_X || P_Y) = E_X [ log_2 \frac{P_X(X)}{P_Y(Y)}] = \sum\limits_{\mu=1}^M P_X(\mu) . log_2 \frac{P_X(\mu)}{P_Y(\mu)}$
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