Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation

1. Digitalsignalübertragung
2. Verallgemeinerte Beschreibung digitaler Modulationsverfahren
3. Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation

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Rayleigh– und Riceverteilung (1)

Die für eine kohärente Demodulation erforderliche Schätzung des Phasenwinkels aus dem ankommenden Signal ist bei vielen Anwendungen nicht oder nur eingeschränkt möglich. So führt die Bewegung eines Mobilteilnehmers mit hoher Geschwindigkeit zu sehr schnellen zeitlichen Änderungen des Phasenwinkels ϕ, was dessen ausreichend genaue Bestimmung erschwert oder gar verhindert.

Diese Tatsache führt zu den nichtkohärenten Demodulationsverfahren mit dem Vorteil reduzierter Komplexität, allerdings mit erhöhter Verfälschungswahrscheinlichkeit. Bei der Herleitung der Gleichungen stößt man auf zwei Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, die hier vorneweg angegeben werden:

• Die Rayleighverteilung erhält man für die WDF der Zufallsgröße y mit Realisierung η, die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten u und υ (beide mit der gleichen Streuung σ_n) wie folgt ergibt:

\[y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) ={\eta}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - {\eta^2}/{ (2\sigma_n^2)}\right ] \hspace{0.05cm}.\]

• Die Riceverteilung erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Fall, dass bei einer der Komponenten (entweder u oder υ) noch eine Konstante C addiert wird:

\[y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = {\eta}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - ({\eta^2 + C^2})/(2 \sigma_n^2) \right ] \cdot {\rm I }_0 \left [{\eta \cdot C}/{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm}.\]

Für die Riceverteilung benötigt man die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung, deren Definition und Reihenentwicklung wie folgt lauten:

\[{\rm I }_0 (x) = \frac{1}{ 2\pi} \cdot \int_{0}^{2\pi} {\rm e }^{-x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\cos(\alpha)} \,{\rm d} \alpha \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(x/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik zeigt Rayleigh– und Rice–Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen. Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.

Rayleigh– und Riceverteilung (2)

Die Grafik am Seitenende zeigt nochmals die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von Rayleigh– und Riceverteilung. Zu dieser Darstellung ist anzumerken:

• Die Riceverteilung ist durch die beiden Parameter C und σ_n bestimmt. Mit C = 0 ist die Rice–WDF identisch mit der Rayleigh–WDF.
  

• Die Rayleigh–WDF mit größerem σ_n ist formgleich mit der gezeichneten Kurve (σ_n = 0.5), jedoch im Verhältnis der Streuungen breiter und niedriger.
  

• σ_n gibt die Streuungen der beiden gaußverteilten Zufallsgrößen u und υ an (beide haben gleiche Streuung) und nicht die Streuung der rayleighverteilten Zufallsgröße y. Für diese gilt vielmehr:

\[\sigma_y = \sigma_n \cdot \sqrt{2 - {\pi}/{2 }} \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} 0.655 \cdot \sigma_n \hspace{0.05cm}.\]

• Die Rayleighverteilung ist extrem unsymmetrisch, erkennbar am (relativ) großen Wert für das Zentralmoment 3. Ordnung: μ₃/σ_y³ ≈ 0.27.
  

• Die Riceverteilung ist um so symmetrischer, je größer das Verhältnis C/σ_n von deterministischer und stochastischer Komponente ist. Für C/σ_n ≥ 4 ist μ₃ nahezu 0.
  

• Weiterhin ist zu erkennen, dass sich die Riceverteilung (mit den Parametern C und σ_n) immer mehr einer Gaußverteilung mit Mittelwert C und Streuung σ_n annähert, je größer der Quotient C/σ_n ist:

\[p_y (\eta) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma_n} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{(\eta - C)^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} m_y = C\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\sigma_y = \sigma_n \hspace{0.05cm}.\]

Nichtkohärente Demodulation von On–Off–Keying (1)

Wir betrachten On–Off–Keying im äquivalenten Tiefpassbereich. Bei kohärenter Demodulation (linke Grafik) ist die Signalraumkonstellation des Empfangssignals gleich der des Sendesignals und besteht aus zwei Punkten. Die Entscheidungsgrenze G liegt in der Mitte zwischen diesen Punkten r₀ und r₁. Die Pfeile markieren Rauschvektoren, die eventuell zu Übertragungsfehlern führen.

Dagegen gilt bei nichtkohärenter Demodulation:

• Der Punkt r₁ = s₁ = 0 bleibt weiter erhalten.
  

• Dagegen kann r₀ = s₀ · exp (jϕ) auf jeden Punkt des Kreises um s₀ liegen, da ϕ unbekannt ist.
  

• Der Entscheidungsprozess unter Berücksichtigung des AWGN–Rauschens ist nun 2–dimensional zu interpretieren, wie es durch die Pfeile in der rechten Grafik angedeutet ist.
  

• Das Entscheidungsgebiet I₁ ist nun ein Kreis, dessen Radius G ein optimierbarer Parameter ist. Das Entscheidungsgebiet I₀ liegt außerhalb dieses Kreises.
  
  

Damit liegt die Strukur des optimalen OOK–Empfängers (im äquivalenten Tiefpassbereich) fest.

Nichtkohärente Demodulation von On–Off–Keying (2)

Entsprechend der Grafik auf der letzten Seite gilt:

• Das Eingangssignal r(t) = s(t) · exp(jϕ) + n(t) ist aufgrund des Phasenwinkels ϕ und wegen des komplexen Rauschterms im allgemeinen komplex. Alle komplexen Signale sind blau beschriftet.
  

• Erforderlich ist demzufolge nun die Korrelation zwischen dem komplexen Empfangssignal r(t) und einer komplexen Basisfunktion ξ₁(t).
  

• Das Ergebnis ist der (komplexe) Detektorwert r, woraus als reelle Entscheidereingangsgröße der Betrag y = | r | gebildet wird.
  

• Ist der Entscheidungswert y > G, so wird als Schätzwert m₀ ausgegeben, andernfalls m₁. Somit ergibt sich für die Fehlerwahrscheinlichkeit bei gleichwahrscheinlichen Symbolen:

\[p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{ 2} \cdot \int_{0}^{G} p_{y|m} (\eta | m_0) \,{\rm d} \eta + {1}/{ 2} \cdot \int_{G}^{\infty} p_{y|m} (\eta | m_1) \,{\rm d} \eta \hspace{0.05cm}.\]

• Aufgrund der Rice–WDF p_y|m(η|m₀) und der Rayleigh–WDF p_y|m(η|m₁) kann allerdings diese Wahrscheinlichkeit nur numerisch berechnet werden. Die optimale Entscheidungsgrenze G ist vorher als die Lösung der folgenden Gleichung zu bestimmen:

\[p_{y|m} (G | m_0) = p_{y|m} (G | m_1) \hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik zeigt das Ergebnis dieser Gleichung für σ_n = 0.5 und C = 2, wobei die (rote) Rice–WDF durch eine Gauß–WDF mit Mittelwert C und Streuung σ_n approximiert ist. Man erkennt daraus:

• Die optimale Entscheidungsgrenze (hier: G ≈ 1.25) ergibt sich aus dem Schnittpunkt der beiden Kurven.
  

• Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit p_S ist die Summe der beiden farblich markierten Flächen. Im Beispiel ergibt sich p_S ≈ 5%.
  
  
  

Die Fehlerwahrscheinlichkeit für andere Werte von C und σ_n sowie die optimale Entscheidergrenze G können Sie mit dem Berechnungstool  Nichtkohärentes On–Off–Keying  bestimmen.

Nichtkohärente Demodulation von binärer FSK (1)

Wie schon im Kapitel 4.4 gezeigt, lässt sich binäres Frequency Shift Keying (BFSK) im äquivalenten Tiefpassbereich durch die Basisfunktionen

\[\xi_1(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}+{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T\hspace{0.05cm},\] \[ \xi_2(t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{1/T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} h \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t/T}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} 0 \le t \le T \hspace{0.05cm}\]

darstellen. Um Orthogonalität zwischen diesen beiden komplexen Basisfunktionen zu erreichen, muss der Modulationsindex h ganzzahlig sein:

\[< \hspace{-0.05cm}\xi_1(t) \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \xi_2(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} h = 2 \cdot \Delta f_{\rm A} \cdot T\hspace{0.05cm}= 1, 2, 3, ...\]

Die Grafik zeigt die Struktur zur nichtkohärenten orthogonalen Demodulation der binären FSK.

Im rauschfreien Fall   ⇒   n(t) = 0   gilt für die beiden Ausgänge der Korrelatoren:

\[r_1 = \hspace{0.2cm} < \hspace{-0.05cm}r(t) \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \xi_1(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm falls}\hspace{0.15cm} m = m_1\hspace{0.05cm},\] \[ r_2 = \hspace{0.2cm} < \hspace{-0.05cm}r(t) \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} \xi_2(t) \hspace{-0.05cm}> \hspace{0.2cm}= 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm falls}\hspace{0.15cm} m = m_0\hspace{0.05cm}.\]

Nach jeweiliger Betragsbildung  ⇒  y₁ = |r₁|, y₂ = |r₂| ist dann folgende Entscheidungsregel anwendbar:

\[\hat{m} = \left\{ \begin{array}{c} m_0 \\ m_1 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm} y_1 > y_2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm falls}\hspace{0.15cm} y_1 < y_2 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}\]

Zur einfacheren Realisierung des Entscheiders kann auch die Differenz y₁ – y₂ mit der Entscheidergrenze G = 0 ausgewertet werden.

Im Folgenden wird die Fehlerwahrscheinlichkeit unter der Annahme berechnet, dass m = m₀ gesendet wurde. Unter der weiteren Voraussetzung gleichwahrscheinlicher binärer Nachrichten m₀ und m₁ ist die absolute Fehlerwahrscheinlichkeit genau so groß:

\[{\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Pr}({\cal{E}}\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}m_0) \hspace{0.05cm}.\]

Mit m = m₀ ergeben sich für die komplexen Korrelationsausgangswerte r_i und deren Beträge y_i:

\[r_1 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sqrt{E} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\phi} + n_1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_1 = |r_1|\hspace{0.15cm}{\rm ist}\hspace{0.15cm}{\rm riceverteilt} \hspace{0.05cm},\] \[ r_2 \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} n_2\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_2 = |r_2|\hspace{0.15cm}{\rm ist}\hspace{0.15cm}{\rm rayleighverteilt} \hspace{0.05cm}.\]

Hierbei steht E für die Symbolenergie E_S und die Bitenergie E_B gleichermaßen (wegen M = 2), und n₁ und n₂ sind unkorrelierte komplexe Rauschgrößen mit Mittelwert 0 und Varianz 2σ_n².

Nichtkohärente Demodulation von binärer FSK (2)

Somit lautet die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

\[p_{y_1,\hspace{0.03cm} y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1, \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) = p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \cdot p_{y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \hspace{0.05cm},\]

\[p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) = {\eta_1}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - ({\eta_1^2 + E})/({2 \sigma_n^2}) }\cdot {\rm I }_0 \left [{\eta_1 \cdot \sqrt{E}}/{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm},\]

\[p_{y_2 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) = {\eta_2}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - \eta_2^2 /({2 \sigma_n^2}) } \hspace{0.05cm}.\]

Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich allgemein wie folgt:

\[{\rm Pr}({\cal{E}}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{\infty} \int_{\eta_1}^{\infty} p_{y_1,\hspace{0.03cm} y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1, \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \,\,{\rm d} \eta_2\,\,{\rm d} \eta_1 =\]

\[ \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}\int_{0}^{\infty} p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \cdot \int_{\eta_1}^{\infty} p_{y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0)\,\,{\rm d} \eta_2\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]

Nach einigen mathematischen Umformungen erhält man für die nichtkohärente Demodulation der binären FSK das überraschend einfache Ergebnis (Herleitung auf der nächsten Seite):

\[p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{-E_{\rm S}/(2 N_0)} \hspace{0.05cm}.\]

Zum Vergleich sei nochmals das Ergebnis für die kohärente Demodulation angegeben:

\[p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {\rm Q}(\sqrt{ E_{\rm S}/N_0}) \hspace{0.05cm}.\]

Die Grafik stellt die Fehlerwahrscheinlichkeitskurven beider Demodulationsverfahren in Abhängigkeit des AWGN–Qotienten E_S/N₀ vergleichend gegenüber.

Man erkennt:

• Die nichtkohärente FSK benötigt gegenüber der kohärenten FSK bei p_S = 10^–5 ein um 0.8 dB größeres E_S/N₀. Bei p_S = 10^–3 beträgt der Abstand sogar 1.3 dB.
  

• Dagegen beträgt der Abstand zwischen der kohärenten binären FSK von der kohärenten BPSK unabhängig von der Fehlerwahrscheinlichkeit gleich 3 dB.
  
  

Herleitung: Fehlerwahrscheinlichkeit von nichtkohärenter BFSK

Das auf der letzten Seite vorweg genommene Ergebnis soll nun in einigen Rechenschritten hergeleitet werden. Wir gehen dabei von den folgenden Gleichungen aus:

\[{\rm Pr}({\cal{E}}) = \int_{0}^{\infty} p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \cdot \int_{\eta_1}^{\infty} p_{y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0)\,\,{\rm d} \eta_2\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm},\]

\[p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) = {\eta_1}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - ({\eta_1^2 + E})/({2 \sigma_n^2}) }\cdot {\rm I }_0 \left [{\eta_1 \cdot \sqrt{E}}/{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm},\]

\[p_{y_2 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) = {\eta_2}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - \eta_2^2 /({2 \sigma_n^2}) } \hspace{0.05cm}.\]

(1)  Das innere Integral gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die rayleighverteilte Zufallsgröße η₂ größer ist als η₁ – siehe Musterlösung zur Aufgabe Z4.17:

\[\int_{\eta_1}^{\infty} p_{y_2 \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0)\,\,{\rm d} \eta_2 = {\rm e }^{ - \eta_1^2 /({2 \sigma_n^2}) }\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = \int_{0}^{\infty}{\eta_1}/{\sigma_n^2} \cdot {\rm e }^{ - ({2\eta_1^2 + E})/({2 \sigma_n^2}) }\cdot {\rm I }_0 \left [ {\eta_1 \cdot \sqrt{E}}/{ \sigma_n^2}\right ]\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]

(2)  Mit den (willkürlichen) Substitutionen C₀² = E/4 und σ₀² = σ_n²/2 erhält man daraus:

\[{\rm Pr}({\cal{E}}) \hspace{0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{\infty} \frac{\eta_1}{2 \cdot \sigma_0^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{2 \eta_1^2 + 4 C_0^2}{4 \sigma_0^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta_1 \cdot 2C_0}{ 2 \sigma_0^2}\right ]\,\,{\rm d} \eta_1 =\]

\[ \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{\infty} \frac{\eta_1}{2 \cdot \sigma_0^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta_1^2 + 2 C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta_1 \cdot C_0}{ \sigma_0^2}\right ]\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]

(3)  Durch Verschieben von Anteilen vor das Integral gelingt es, dass der Integrand wieder eine Riceverteilung beschreibt:

\[{\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ] \cdot \int\limits_{0}^{\infty} \frac{\eta_1}{ \sigma_0^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta_1^2 + C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta_1 \cdot C_0}{ \sigma_0^2}\right ]\,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]

(4)  Der Integrand beschreibt nun die Rice–WDF. Das Integral über das gesamte Definitionsgebiet von 0 bis +∞ ergibt wie bei jeder WDF den Wert 1, so dass gilt:

\[{\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ]\hspace{0.05cm}.\]

(5)  Mit C₀² = E/4, σ₀² = σ_n²/2 und der allgemein gültigen Beziehung σ_n² = N₀/2 erhält man:

\[{\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ C_0^2}{2 \sigma_0^2}\right ] = {1}/{2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ E_{\rm S}/4}{N_{\rm 0}/2}\right ] \]

\[p_{\rm S} = {\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{-E_{\rm S}/(2 N_0)}\hspace{0.05cm}.\]    q.e.d.

E_S gibt hierbei mittlere Signalenergie pro Symbol an, die bei FSK gleich der Nornierungsenergie E ist.

Nichtkohärente Demodulation von mehrstufiger FSK (1)

Wir betrachten nun die Nachrichtenmenge {m₀, m₁, ..., m_M–1} und bezeichnen M als Stufenzahl.

• Voraussetzung für die Anwendung des Modulationsverfahrens „Frequency Shift Keying” und zugleich eines nichtkohärenten Demodulators ist ein ganzzahliger Modulationsindex h.
  

• In diesem Fall ist die M–stufige FSK orthogonal und es ergibt sich eine Signalraumkonstellation, wie in der oberen Grafik für den Sonderfall M = 3 dargestellt.
  
  

Der nichtkohärente Demodulator ist nachfolgend skizziert. Gegenüber der Empfängerstruktur für binäre FSK unterscheidet sich dieser Empfänger lediglich durch M Zweige anstelle von nur zweien, welche die Vergleichswerte y₁, y₂, ..., y_M liefern.

Zur Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit gehen wir wieder von der Annahme aus, dass m₀ gesendet wurde. Das bedeutet, dass die Entscheidung richtig ist, wenn y₁ der größte Detektionsausgangswert ist:

\[{\rm Pr}({\cal{C}}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} \left [ (y_2 < y_1) \cap (y_3 < y_1) \cap ... \cap (y_{M} < y_1) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} m = m_0\right ] = \]

\[ \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} \left [ \hspace{0.1cm} \bigcap\limits_{k = 2}^M (y_k < y_1) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m = m_0\right ] \hspace{0.01cm}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = 1 - {\rm Pr}({\cal{C}})\hspace{0.05cm}.\]

Die Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.

Nichtkohärente Demodulation von mehrstufiger FSK (2)

Bitte beachten Sie: Es gibt gewisse Analogien zur Herleitung der BFSK–Fehlerwahrscheinlichkeit.

(1)  Mit der bedingten Wahrscheinlichkeitsdichte p_y1|m(η₁|m₀) erhält man:

\[{\rm Pr}({\cal{C}}) = \int_{0}^{\infty} {\rm Pr} \left [ \hspace{0.1cm} \bigcap\limits_{k = 2}^M (y_k < y_1) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}y_1 = \eta_1, m = m_0\right ] \cdot p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]

(2)  Die Entscheidungswerte y₂, y₃, ... , y_M sind bei gegebenem y₁ statistisch unabhängig. Deshalb gilt:

\[{\rm Pr}({\cal{C}}) = \int_{0}^{\infty} \left \{ {\rm Pr} \left [ (y_2 < y_1) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}y_1 = \eta_1, m = m_0\right ] \right \}^{M-1} \cdot p_{y_1 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_1 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]

(3)  Der ausgewählte Wert y₂ konditioniert auf m₀ besitzt eine Rayleighverteilung mit Parameter σ_n²:

\[{\rm Pr} \left [ (y_2 < y_1) \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}y_1 = \eta_1, m = m_0\right ] \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{\eta_1} p_{y_2 \hspace{0.01cm}| \hspace{0.03cm}m} ( \eta_2 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}m_0) \,\,{\rm d} \eta_2= \]

\[ \hspace{0.05cm} = \hspace{0.1cm} 1 - {\rm exp } \left [ - {\eta_1^2 }/({2 \sigma_n^2})\right ] = 1 - a \hspace{0.2cm}{\rm(Abk\ddot{u}rzung)} \hspace{0.05cm}.\]

(4)  Gesucht ist nun der Ausdruck (1 – a)^M–1, für den gilt:

\[ (1-a)^{M-1} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i } \cdot (-1)^i \cdot a^i = \]

\[ \hspace{0.15cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i } \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{i \cdot \eta_1^2 }{2 \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm}.\]

(5)  Weiterhin besitzt y₁ konditioniert auf m = m₀ eine Riceverteilung. Die Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Entscheidung lässt sich somit in folgende Form bringen:

\[{\rm Pr}({\cal{C}}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i } \cdot \]

\[ \hspace{-0.1cm} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{\infty} {\rm exp } \left [ - \frac{i \cdot \eta_1^2 }{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot \frac{\eta_1}{ \sigma_n^2}\cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta_1^2 + E_{\rm S}}{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta_1 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}}{ \sigma_n^2}\right ] \,\,{\rm d} \eta_1 \hspace{0.05cm}.\]

(6)  Durch Substitutionen gelingt es, den Integranden entsprechend der Riceverteilung zu gestalten. Da sich jede Wahrscheinlichkeitsdichte zu 1 integriert, erhält man:

\[{\rm Pr}({\cal{C}}) = \sum_{i = 0}^{M-1} (-1)^i \cdot {M-1 \choose i } \cdot \frac{1}{i+1} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{i \cdot E_{\rm S} } {(i+1) \cdot N_0}\right ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} E_{\rm S} = E_{\rm B} \cdot {\rm log_2}(M)\hspace{0.05cm}.\]

(7)  Der Sonderfall M = 2 führt zum genau gleichen Ergebnis, wie für die binäre FSK berechnet:

\[{\rm Pr}({\cal{C}}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} (-1)^0 \cdot {2-1 \choose 0 } \cdot \frac{1}{0+1} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{0 \cdot E_{\rm S} } {(i+1) \cdot N_0}\right ] + \hspace{-0.1cm}\]

\[ + \hspace{0.1cm} (-1)^1 \cdot {2-1 \choose 1 } \cdot \frac{1}{1+1} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{1 \cdot E_{\rm S} } {(i+1) \cdot N_0}\right ]= \]

\[ \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 1 - {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)} \hspace{1.8cm} \Rightarrow \hspace{1.8cm} {\rm Pr}({\cal{E}}) = {1}/{2} \cdot {\rm e }^{-E_{\rm S}/(2N_0)} \hspace{0.05cm}.\]

Aufgaben

4.17 Nichtkohärente OOK

Zusatzaufgaben:4.17 Rayleigh- und Riceverteilung

A4.18 Nichtkohärente BPSK–Demodulationg

Zusatzaufgaben:4.18 FSK kohärent/nichtkohärent

A4.19 Orthogonale mehrstufige FSK