Aufgabe 4.4Z: Störabstand bei PCM

Störabstand von PCM 30/32 im Vergleich zur ZSB–Amplitudenmodulation

Die Grafik zeigt den Sinken–Störabstand $10 · \lg \ ρ_v$ für die Pulscodemodulation $\rm (PCM)$ im Vergleich zur analogen Zweiseitenband–Amplitudenmodulation, abgekürzt mit $\rm ZSB–AM$.

Für letztere gilt $ρ_v = ξ$, wobei die Leistungskenngröße

$$\xi = \frac{\alpha^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot f_{\rm N}} $$

folgende Systemparameter zusammenfasst:

den frequenzunabhängigen Übertragungsfaktor $α$ des Übertragungskanals,
die Leistung $P_{\rm S}$ des Sendsignals $s(t)$, auch kurz "Sendeleistung" genannt,
die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ (Bandbreite) des cosinusförmigen Quellensignals $q(t)$,
die (einseitige) Rauschleistungsdichte $N_0$ des AWGN–Rauschens.

Für das PCM–System wurde auf der Seite "Abschätzung der SNR-Degradation durch Übertragungsfehler" folgende Näherung für das Sinken–SNR angegeben, die auch Übertragungsfehler aufgrund des AWGN–Rauschens berücksichtigt:

$$ \rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet $N$ die Anzahl der Bit pro Abtastwert und $p_{\rm B}$ die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
Da die Leistungskenngröße $ξ$ bei digitaler Modulation auch als die "Signalenergie pro Bit" bezogen auf die "Rauschleistungsdichte" $(E_{\rm B}/N_0)$ interpretiert werden kann, gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlersignal ${\rm Q}(x)$ näherungsweise:

$$ p_{\rm B}= {\rm Q} \left ( \sqrt{2 \xi }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Pulscodemodulation".
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten "Einfluss von Übertragungsfehlern" und "Abschätzung der SNR-Degradation durch Übertragungsfehler".
Bei der hier betrachteten PCM handelt es sich um die PCM 30/32, deren Systemparameter zum Beispiel in der Aufgabe 4.1 angegeben sind.

Fragebogen

$N_1 \ = \ $

$N_2 \ = \ $

$10 · \lg \ ξ_{40\ \rm dB} \ = \ $

$\ \rm dB$

$K_\text{AM → PCM} \ = \ $

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \%$

$10 · \lg \ ρ_v \ = \ $

$\ \rm dB$

Musterlösung

(1) Der horizontale Abschnitt der PCM–Kurve wird allein durch das Quantisierungsrauschen bestimmt.

Hier gilt mit der Quantisierungsstufenzahl $M = 2^N$:

$$ \rho_{v} (\xi \rightarrow \infty) = \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{v} \approx 6\,{\rm dB} \cdot N\hspace{0.05cm}.$$

Aus dem ablesbaren Störabstand $10 · \lg \ ρ_v ≈ 48 \ \rm dB$ folgt daraus $N_1\hspace{0.15cm}\underline { = 8}$ Bit pro Abtastwert und für die Quantisierungsstufenzahl $M = 256$.

(2) Aus der obigen Näherung erhält man für $N_2\hspace{0.15cm}\underline { = 11}$ Bit pro Abtastwert ⇒ $M = 2048$ den Störabstand $66 \ \rm dB$.

Mit $N = 10$ ⇒ $M = 1024$ erreicht man nur ca. $60 \ \rm dB$.
Bei der Compact Disc $\rm (CD)$ werden die PCM–Parameter $N = 16$ ⇒ $M = 65536$ ⇒ $10 · \lg \ ρ_v > 96 \ \rm dB$ verwendet.

(3) Bei Zweiseitenband–Amplitudenmodulation wären hierfür $10 · \lg \ ξ = 40\ \rm dB$ erforderlich.

Wie aus der Grafik auf der Angabenseite hervorgeht, ist dieser Abszissenwert für die vorgegebene PCM um $30 \ \rm dB$ geringer ⇒ $10 · \lg \ ξ_{40\ \rm dB}\hspace{0.15cm}\underline { = 10 \ \rm dB}$.

(4) Der logarithmische Wert $30 \ \rm dB$ entspricht einer um den Faktor $10^3\hspace{0.15cm}\underline { = 1000}$ reduzierten Leistung.

(5) Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass der Abszissenwert $10 · \lg \ ξ= 6 \ \rm dB$ den Störabstand $20 \ \rm dB$ zur Folge hat.

Aus $10 · \lg \ ρ_v = 20 \ \rm dB$ folgt $ρ_v = 100$ und damit weiter $($mit $N = N_1 = 8)$:

$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \approx \frac{1}{ 1.5 \cdot 10^{-5} + 4 \cdot p_{\rm B}} = 100 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} = \frac{0.01 - 1.5 \cdot 10^{-5}}{ 4} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.5\%} \hspace{0.05cm}.$$

(6) Bei gleichem $ξ$ ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit weiterhin $p_{\rm B} = 0.025$. Damit erhält man mit $N = 3$ (Bit pro Abtastwert):

$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-6 } + 4 \cdot p_{\rm B}} = \frac{1}{ 0.015625 + 0.01} \approx 39 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\upsilon}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$

Weiter ist anzumerken:

Auch bei nur drei Bit pro Abtastwert ist die Quantisierungsrauschleistung $(P_{\rm Q} = 0.015625)$ schon größer als die Fehlerrauschleistung $(P_{\rm F} = 0.01)$.
Durch Erhöhung der Sendeleistung könnte wegen der Quantisierung der Sinkenstörabstand maximal $10 · \lg \ ρ_v =18 \ \rm dB$ betragen, wenn keine Bitfehler vorkommen $(P_{\rm F} = 0)$.