Das GWSSUS–Kanalmodell

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Verallgemeinerte Systemfunktionen zeitvarianter Systeme

Während es bei linearen zeitinvarianten (LZI) Systemen mit der Übertragungsfunktion $H(f)$ und der Impulsantwort $h(t)$ – nach Umbenennung $h(\tau)$ – nur zwei das System vollständig beschreibende Funktionen gibt, sind bei zeitvarianten (LZV) Systemen insgesamt vier verschiedene Systemfunktionen möglich. Eine formale Untersscheidung dieser Funktionen hinsichtlich Zeit– und Frequenzbereichsdarstellung durch Klein– und Großbuchstaben ist damit ausgeschlossen.

Deshalb nehmen wir nun eine Nomenklaturänderung vor, die sich wie folgt formalisieren lässt:

• Die vier möglichen Systemfunktionen werden einheitlich mit $\boldsymbol{\eta}_{12}$ bezeichnet.
  

• Der erste Index ist entweder ein $\boldsymbol{\rm V}$ (Verzögerungszeit $\tau$) oder ein $\boldsymbol{\rm F}$ (Frequenz $f$).
  

• Als zweiter Index ist entweder ein $\boldsymbol{\rm Z}$ (Zeit $t$) oder ein $\boldsymbol{\rm D}$ (Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$) möglich.
  
  

Da beim Mobilfunk im Gegensatz zur leitungsgebundenen Übertragung die Systemfunktionen nicht deterministisch beschrieben werden können, sondern statistische Größen sind, müssen später noch entsprechende Korrelationsfunktionen betrachtet werden. Diese bezeichnen wir im Folgenden einheitlich mit $\boldsymbol{\varphi}_{12}$, und verwenden gleiche Indizes wie für die Systemfunktionen $\boldsymbol{\eta}_{12}$.

Diese formalisierten Bezeichnungen sind in der folgenden Grafik in blauer Schrift eingetragen. Zusätzlich sind die in anderen Kapiteln oder der Literatur verwendeten Bezeichnungen angegeben (graue Schrift). In den weiteren Kapiteln werden diese teilweise ebenfalls benutzt.

Zusammenhang zwischen den Systemfunktionen

• Oben erkennt man die zeitvariante Impulsantwort ${\eta}_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t)$, bisher mit $h(\tau,\hspace{0.05cm} t)$ bezeichnet. Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) ist

\[\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1, t_1) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}. \]

• Zur Frequenz–Zeit–Darstellung (rechter Block) kommt man durch eine Fouriertransformation bezüglich der Verzögerung $\tau$. Man erhält so die zeitvariante Übertragungsfunktion $H(f,\hspace{0.05cm} t) = {\eta}_{\rm FZ}(f,\hspace{0.05cm} t)$. Die Fouriertransformation hinsichtlich $\tau$ ist in der Grafik durch ${\rm F}_\tau\hspace{0.05cm}[ \cdot ]$ angedeutet. Ausgeschrieben lautet das Fourierintegral:

\[\eta_{\rm FZ}(f, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot {\rm e}{- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau}\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm kurz:} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f, t) \hspace{0.2cm} \stackrel{f, \hspace{0.05cm} \tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \hspace{0.05cm}.\]

Die AKF dieser zeitvarianten Übertragungsfunktion lautet allgemein:

\[\varphi_{\rm FZ}(f_1, t_1, f_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm FZ}(f_1, t_1) \cdot \eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}.\]

• Die Scatter–Funktion ${\eta}_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$ entsprechend dem linken Block – manchmal auch mit $s(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$ bezeichnet – beschreibt den Mobilfunkkanal im Verzögerungs–Doppler–Bereich. Der Funktionsparameter $f_{\rm D}$ bezeichnet hierbei die Dopplerfrequenz. Die Scatter–Funktion ergibt sich aus der zeitvarianten Impulsantwort ${\eta}_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t)$ durch Fouriertransformation bezüglich des zweiten Parameters $t$:

\[ \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{0.2cm} \stackrel{f_{\rm D}, \hspace{0.05cm}t}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}, \tau_2, f_{\rm D_2}) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}) \cdot \eta_{\rm VD}^{\star}(\tau_2, f_{\rm D_2}) \right ] \hspace{0.05cm}.\]

• Abschließend betrachten wir noch die so genannte frequenzvariante Übertragungsfunktion, also die Frequenz–Doppler–Darstellung. Entsprechend der Grafik gelangt man zu dieser auf zwei Wege:

\[\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D}) \hspace{0.2cm} \stackrel{f_{\rm D}, \hspace{0.05cm}t}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f, t)\hspace{0.05cm},\]

\[\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D}) \hspace{0.2cm} \stackrel{f, \hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.\]

Hinweise:

• Die angegebenen Fourier–Zusammenhänge zwischen den Systemfunktionen in der Grafik sind durch die äußeren, dunkelgrünen Pfeile veranschaulicht und mit ${\rm F}_p\hspace{0.05cm}[ \cdot ]$ bezeichnet. Der Parameter $p$ gibt an, auf welchen Parameter $\tau$, $f$, $t$ oder $f_{\rm D}$ sich die Fouriertransformation bezieht.
• Die inneren (helleren) Pfeile kennzeichnen jeweils die Verknüpfungen über die inverse Fouriertransformation (Fourierrücktransformation). Hierfür verwenden wir die Notation ${{\rm F}_p}^{-1}\hspace{0.05cm}[ \cdot ]$.
• Der Zusammenhang zwischen Zeit– und Frequenzbereich, formelmäßig beschreibbar durch Fouriertransformation und Fourierrücktransformation, wird durch das Applet Impulse und Spektren verdeutlicht.
  

Vereinfachungen aufgrund der GWSSUS–Voraussetzungen

Der allgemeine Zusammenhang zwischen den vier Systemfunktionen ist aufgrund nichtstationärer Effekte sehr kompliziert. Es müssen gegenüber dem allgemeinen Modell einige Einschränkungen getroffen werden, um zu einem geeigneten Modell für den Mobilfunkkanal zu gelangen, aus dem sich relevante Aussagen für praktische Anwendungen ableiten lassen.

Man kommt zum GWSSUS–Modell (Gaussian Wide Sense Stationary Uncorrelated Scattering) durch folgende Festlegungen:

• Der Zufallsprozess der Kanalimpulsantwort h(τ, t) = η_VZ(τ, t) wird allgemein als komplex (also Beschreibung im äquivalenten Tiefpassbereich), gaußisch (Kennung G) sowie als mittelwertfrei (Rayleigh, nicht Rice, also keine Sichtverbindung) angenommen.
  

• Der Zufallsprozess sei schwach stationär, das heißt, seine Kenngrößen ändern sich mit der Zeit nur geringfügig, und die AKF φ_VZ(τ₁, t₁, τ₂, t₂) der zeitvarianten Impulsantwort hängt nicht mehr von den absoluten Zeiten t₁ und t₂ ab, sondern nur noch von der Zeitdifferenz Δt = t₂ – t₁. Darauf weist die Kennung WSS   ⇒   Wide Sense Stationary hin.
  

• Die einzelnen Echos aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind unkorreliert, was durch die Kennung US   ⇒   Uncorrelated Scattering ausgedrückt wird.
  

Unter Berücksichtigung dieser Eigenschaften lässt sich der Mobilfunkkanal entsprechend der hier angegebenen Grafik beschreiben. Auf die einzelnen Leistungsdichtespektren (blau beschriftet) und die Korrelationsfunktion (mit roter Schrift) wird auf den nächsten Seiten noch im Detail eingegangen.

AKF und LDS der zeitvarianten Impulsantwort (1)

Zunächst betrachten wir die Autokorrelationsfunktion (AKF) der zeitvarianten Impulsantwort  ⇒  h(τ, t) = η_VZ(τ, t) etwas genauer. Dabei zeigt sich:

• Aufgrund der WSS–Eigenschaft lässt sich mit Δt = t₂ – t₁ schreiben:

\[\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = \varphi_{\rm VZ}(\tau_1, \tau_2, \Delta t)\hspace{0.05cm}.\]

• Da die Echos als unabhängig voneinander vorausgesetzt wurden (US–Eigenschaft), kann man die Impulsantwort bezüglich den Verzögerungen τ₁, τ₂ als unkorreliert annehmen. Dann gilt:

\[\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, \tau_2, \Delta t) = 0 \hspace{0.35cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.35cm} \tau_1 \ne \tau_2\hspace{0.05cm}. \]

• Ersetzt man nun τ₁ durch τ und τ₂ durch τ + Δτ, so lässt sich diese Autokorrelationsfunktion in folgender Weise darstellen:

\[\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}. \]

• Wegen der Ausblendeigenschaft der Diracfunktion verschwindet die AKF für τ₁ ≠ τ₂  ⇒  Δt ≠ 0. Φ_VZ(τ, Δt) nennt man das Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum, das von der Verzögerung τ (= τ₁ = τ₂) und zusätzlich von der Zeitdifferenz Δt = t₁ – t₂ abhängt.
  
  

Beachten Sie, dass hier Autokorrelationsfunktion φ_VZ(Δτ, Δt) und Leistungsdichtespektrum Φ_VZ(τ, Δt) nicht wie sonst üblich über die Fouriertransformation zusammenhängen, sondern nach obiger Gleichung über eine Diracfunktion verknüpft sind. Nicht alle Symmetrieeigenschaften, die aus dem Wiener–Chintchine–Theorem folgen, sind somit auch hier gegeben. Insbesondere ist es durchaus möglich und sogar sehr wahrscheinlich, dass ein solches Leistungsdichtespektrum eine ungerade Funktion ist.

In der Übersicht ist das Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum Φ_VZ(τ, Δt) oben in der Mitte zu erkennen. Da η_VZ(τ, t) wie jede beliebige Impulsantwort die Einheit [1/s] aufweist, hat die Autokorrelationsfunktion

\[\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau + \Delta \tau, t + \Delta t) \right ]\]

die Einheit [1/s²]. Da aber auch die Diracfunktion mit Zeitargument, δ(Δτ), die Einheit [1/s] aufweist, besitzt das Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum Φ_VZ(τ, Δt) ebenfalls die Einheit [1/s]:

\[\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}.\]

AKF und LDS der zeitvarianten Impulsantwort (2)

Zum Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum Φ_V(τ) kommt man, indem man in der Funktion Φ_VZ(τ, Δt) den zweiten Parameter Δt = 0 setzt. Die Grafik zeigt einen beispielhaften Verlauf.

Das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum Φ_V(τ) ist eine zentrale Größe für die Beschreibung eines Mobilfunkkanals. Es weist folgende Eigenschaften auf:

• Φ_V(τ₀) ist ein Maß für die „Leistung” derjenigen Signalanteile, die um τ₀ verzögert werden. Es wird hierfür implizit eine Mittelung über alle Dopplerfrequenzen (f_D) vorgenommen.
  

• Das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum Φ_V(τ) hat wie Φ_VZ(τ, Δt) die Einheit [1/s]. Es charakterisiert die Leistungsverteilung über alle möglichen Verzögerungszeiten τ.
  

• In obiger Grafik farblich markiert ist die Leistung P₀ ≈ Φ_V(τ₀) · Δτ solcher Signalanteile, die beim Empfänger über beliebige Pfade mit einer Verzögerung zwischen τ₀ ± Δτ/2 eintreffen.
  

• Normiert man das Leistungsdichtespektrum Φ_V(τ) derart, dass sich die Fläche 1 ergibt, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) der Verzögerungszeit:

\[{\rm WDF}_{\rm V}(\tau) = \frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}{\int_{0 }^{\infty}{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau} \hspace{0.05cm}.\]

Im Buch „Stochastische Signaltheorie” hätten wir diese Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit f_τ(τ) bezeichnet. Um den Zusammenhang zwischen Φ_V(τ) und der WDF deutlich werden zu lassen und Verwechslungen mit der Frequenz f zu vermeiden, wurde hier diese Nomenklatur gewählt.

Verzögerungsmodelle nach COST 207

In den 1990er Jahren gründete die Europäische Union die Arbeitsgruppe COST 207 mit dem Ziel, standardisierte Kanalmodelle für den zellularen Mobilfunk bereitzustellen. Hierbei steht COST für European Cooperation in Science and Technology.

In diesem internationalen Gremium wurden vier Profile für die Verzögerungszeit τ entwickelt, basierend auf Messungen und gültig für unterschiedliche Anwendungsszenarien. Im Folgenden werden vier verschiedene Verzögerungs–Leistungsdichtespektren angegeben, wobei stets der Normierungsfaktor Φ₀ = Φ_V(τ = 0) verwendet wird:

• Profil RA (englisch Rural Area)   ⇒   ländliches Gebiet:

\[{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \hspace{0.15cm}{\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 0.7\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 0.109\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}.\]

• Profil TU (englisch Typical Urban)   ⇒   Städte und Vororte:

\[{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \hspace{0.15cm}{\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 7\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}.\]

• Profil BU (englisch Bad Urban)   ⇒   ungünstige Bedingungen in Städten:

\[{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\\ 0.5 \cdot {\rm e}^{ (5\,{\rm \mu s}-\tau) / \tau_0} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} \hspace{-0.05cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 5\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \\ \hspace{-0.05cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 5\,{\rm \mu s} < \tau < 10\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\]

• Profil HT (englisch Hilly Terrain)   ⇒   hügeliges Gebiet und Bergland:

\[{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\\ 0.04 \cdot {\rm e}^{ (15\,{\rm \mu s}-\tau) / \tau_0} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} \hspace{-0.4cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 0 < \tau < 2\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 0.286\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}, \\ \hspace{-0.4cm} {\rm im \hspace{0.15cm}Bereich}\hspace{0.15cm} 15\,{\rm \mu s} < \tau < 20\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}\]

Die Grafik zeigt die Verzögerungs–Leistungsdichte dieser Profile in logarithmischer Darstellung. Aus den Exponentialfunktionen bei linearer Darstellung werden nun geradlinige Verläufe.

Bei dieser logarithmischen Darstellung kann man den LDS–Parameter τ₀ bei 10 &middot lg(1/e) = –4.34 dB ablesen, wie in der Grafik für das TU-Profil eingezeichnet. Auf diese vier COST–Profile wird in der Aufgabe A2.8 noch genauer eingegangen.

AKF und LDS der frequenzvarianten Übertragungsfunktion

Die in der Grafik auf der ersten Seite dieses Kapitels unten dargestellte Systemfunktion η_FD(f, f_D) wird auch frequenzvariante Übertragungsfunktion genannt, wobei sich das Adjektiv „frequenzvariant” auf die Dopplerfrequenz bezieht. Die dazugehörige AKF ist wie folgt definiert:

\[\varphi_{\rm FD}(f_1, f_{\rm D_1}, f_2, f_{\rm D_2}) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm FD}(f_1, f_{\rm D_1}) \cdot \eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, f_{\rm D_2}) \right ]\hspace{0.05cm}. \]

Durch ähnliche Überlegungen wie auf der letzten Seite kann man diese Autokorrelationsfunktion unter GWSSUS–Bedingungen wie folgt darstellen:

\[\varphi_{\rm FD}(\Delta f, \Delta f_{\rm D}) = \delta(\Delta f_{\rm D}) \cdot {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]

Dabei gilt:

• Φ_FD(Δf, f_D) ist das sogenannte Frequenz–Doppler–Kreuzleistungsdichtespektrum, das in der Grafik am Seitenende durch gelbe Hinterlegung hervorgehoben ist.
  

• Das erste Argument Δf = f₂ – f₁ berücksichtigt, dass aufgrund der Stationarität die AKF und das LDS nur von der Frequenzdifferenz abhängen.
  

• Der Faktor δ(Δf_D) mit Δf_D = f_D2 – f_D1 drückt die Unkorreliertheit der AKF bezüglich der Dopplerverschiebung aus.
  

• Man kommt von Φ_FD(Δf, f_D) zum Doppler–Leistungsdichtespektrum Φ_D(f_D), wenn man Δf = 0 setzt. Φ_D(f_D) gibt an, mit welcher Leistung einzelne Dopplerfrequenzen auftreten.
  

• Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Dopplerfrequenz ergibt sich aus Φ_D(f_D) durch geeignete Flächennormierung. Diese weist wie Φ_D(f_D) die Einheit [1/Hz] auf:

\[{\rm WDF}_{\rm D}(f_{\rm D}) = \frac{{\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})}{\int_{-\infty }^{+\infty}{\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})\hspace{0.15cm}{\rm d}f_{\rm D}} \hspace{0.05cm}.\]

• In vielen Fällen, so zum Beispiel für eine vertikale Monopulsantenne im isotrop gestreuten Feld, ist Φ_D(f_D) durch das Jakes–Spektrum gegeben.
  
  

Das Frequenz–Doppler–Kreuzleistungsdichtespektrum Φ_FD(Δf, f_D) ist in der folgenden Grafik gelb hinterlegt.

Eingezeichnet sind in dieser Grafik auch die Fourierzusammenhänge zu den benachbarten GWSSUS–Systembeschreibungsfunktionen.
Wir verweisen hier auf das folgende Interaktionsmodul:
Zur Verdeutlichung des Dopplereffekts Please add link and do not upload flash videos.

AKF und LDS der Verzögerungs–Doppler–Funktion

Die in der Übersicht auf der ersten Seite von Kapitel 2.3 links dargestellte Systemfunktion wurde mit η_VD(τ, f_D) bezeichnet. Die AKF dieser Verzögerungs–Doppler–Funktion kann unter Berücksichtigung der GWSSUS–Eigenschaften mit Δτ = τ₂ – τ₁ und Δf_D = f_D2 – f_D1 wie folgt geschrieben werden:

\[\varphi_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}, \tau_2, f_{\rm D_2}) = \varphi_{\rm VD}(\Delta \tau, \Delta f_{\rm D}) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\rm \delta}(\Delta f_{\rm D}) \cdot {\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]

Zu dieser Gleichung ist anzumerken:

• Die erste Diracfunktion δ(Δτ) berücksichtigt, dass die Verzögerungen unkorreliert sind („Uncorrelated Scattering”), die zweite Diracfunktion δ(Δf_D) folgt aus der Stationarität („Wide Sense Stationary”).
  

• Das Verzögerungs–Doppler–Leistungsdichtespektrum Φ_VD(τ, f_D) – auch Scatter–LDS genannt – kann aus Φ_VZ(τ, Δt) bzw. Φ_FD(Δf, f_D) wie folgt berechnet werden:

\[{\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm F}_{\Delta t} \left [ {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \right ] = \int_{-\infty}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \cdot {\rm exp}(- {\rm j}\cdot 2 \pi \cdot f_{\rm D} \cdot \Delta t)\hspace{0.15cm}{\rm d}\Delta t \hspace{0.05cm},\]

\[{\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm F}_{f_{\rm D}}^{-1} \left [ {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) \right ] = \int_{-\infty}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D}) \cdot {\rm exp}({\rm j}\cdot 2 \pi \cdot \tau \cdot \Delta f)\hspace{0.15cm}{\rm d}\Delta f \hspace{0.05cm}. \]

• Sowohl die Systemfunktion η_VD(τ, f_D) als auch die abgeleiteten Funktionen φ_VD(Δτ, Δf_D) und Φ_VD(τ, f_D) sind dimensionslos. Nähere Angaben hierüber finden Sie in Aufgabe A2.6.

• Weiterhin ist bei Erfüllung der GWSSUS–Voraussetzungen die Scatterfunktion gleich dem Produkt aus Verzögerungs– und Doppler–Leistungsdichtespektrum:

\[{\it \Phi}_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.\]

Die Abbildung fasst die bisherigen Ergebnisse dieses Kapitels zusammen, wobei die auf dieser Seite beschriebenen Leistungsdichtespektren farblich hervorgehoben sind.

Festzuhalten ist:

• Der Einfluss der Verzögerungszeit (Laufzeit) τ und der Dopplerfrequenz f_D lässt sich durch die Leistungsdichtespektren Φ_V(τ) und Φ_D(f_D) separieren.
  

• Die 2D–Verzögerungs–Doppler–Leistungsdichte Φ_VD(τ, f_D) ist gleich dem Produkt aus Φ_V(τ) und Φ_D(f_D).
  

AKF und LDS der zeitvarianten Übertragungsfunktion

Die folgende Grafik zeigt alle Zusammenhänge zwischen den einzelnen Leistungsdichtespektren nochmals in kompakter Form. Auf den letzten Seiten wurden dabei bereits behandelt:

• Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum Φ_VZ(τ, Δt); mit Δt = 0  ⇒  Φ_V(τ) ,
  

• Frequenz–Doppler–Kreuzleistungsdichtespektrum Φ_FD(Δf, f_D); mit Δf = 0  ⇒  Φ_D(f_D),
  

• Verzögerungs–Doppler–Kreuzleistungsdichtespektrum Φ_VD(τ, f_D)  ⇒  Φ_V(τ) · Φ_D(f_D).
  

Bisher noch nicht betrachtet wurde die gelb markierte Frequenz–Zeit–Korrelationsfunktion

\[\varphi_{\rm FZ}(f_1, t_1, f_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm FZ}(f_1, t_1) \cdot \eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}.\]

Berücksichtigt man wieder die GWSSUS–Vereinfachungen sowie die Identität η_VZ(f, t) = H(f, t), so lässt sich diese AKF mit Δf = f₂ – f₁ und Δt = t₂ – t₁ auch wie folgt schreiben:

\[\varphi_{\rm FZ}(f_1, t_1, f_2, t_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t) = {\rm E} \left [ H(f, t) \cdot H^{\star}(f + \Delta f, t + \Delta t) \right ]\hspace{0.05cm}.\]

Hierzu ist anzumerken:

• Schon an der Namensgebung ist zu erkennen, dass φ_FZ(Δf, Δt) eine Korrelationsfunktion ist und kein Leistungsdichtespektrum wie die Funktionen Φ_VZ(τ, Δt), Φ_FD(Δf, f_D), Φ_VD(τ, f_D).
  

• Die Fourierzusammenhänge mit den benachbarten Funktionen lauten:

\[{\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.2cm} \stackrel{\tau, \hspace{0.05cm}\Delta f}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \hspace{0.05cm}\Delta t) \hspace{0.2cm} \stackrel{\Delta t,\hspace{0.05cm} f_{\rm D}}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm FD}(\Delta f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]

• Setzt man in dieser zweidimensionalen Funktion die Parameter Δt = 0 bzw. Δf = 0, so ergeben sich die separaten Korrelationsfunktionen für den Frequenz– bzw. Zeitbereich:

\[\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t = 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \varphi_{\rm Z}(\Delta t) = \varphi_{\rm FZ}(\Delta f = 0, \Delta t ) \hspace{0.05cm}.\]

• Aus der Grafik wird auch deutlich, dass diese Korrelationsfunktionen mit den hergeleiteten Leistungsdichtespektren wieder über die Fouriertransformation korrespondieren:

\[\varphi_{\rm F}(\Delta f) \hspace{0.2cm} {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}\varphi_{\rm Z}(\Delta t) \hspace{0.2cm} {\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm D}(f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.\]

Kenngrößen des GWSSUS–Modells

Entsprechend den Ergebnissen der letzten Seite wird der Mobilfunkkanal durch

• das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum Φ_V(τ) und
  

• das Doppler–Leistungsdichtespektrum Φ_D(f_D)
  
  

vollständig beschrieben. Durch geeignete Normierung auf die jeweilige Fläche 1 ergeben sich daraus die Dichtefunktionen bezüglich der Verzögerungszeit τ bzw. der Dopplerfrequenz f_D.

Aus den Leistungsdichtespektren bzw. den zugehörigen Korrelationsfunktionen können Kenngrößen abgeleitet werden. Die wichtigsten sind hier zusammengestellt:

• Die Mehrwegeverbreiterung (englisch: Time Delay Spread oder Multipath Spread) T_V gibt die Verbreiterung an, die ein Diracimpuls durch den Kanal im statistischen Mittel erfährt. T_V ist definiert als die Standardabweichung (σ_V) der Zufallsgröße τ:

\[T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} = \sqrt{{\rm E} \left [ \tau^2 \right ] - m_{\rm V}^2} \hspace{0.05cm}.\]

Der Mittelwert m_V = E[τ] ist eine für alle Signalanteile gleiche mittlere Laufzeit (englisch: Average Excess Delay). E[τ²] ist als quadratischer Mittelwert zu berechnen.

• Die Kohärenzbandbreite B_K (englisch: Coherence Bandwidth) ist derjenige Δf–Wert, bei dem der Betrag der Frequenzkorrelationsfunktion erstmals auf die Hälfte abgesunken ist.

\[|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})| \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot |\varphi_{\rm F}(\Delta f = 0)| \hspace{0.05cm}.\]

B_K ist ein Maß für die Frequenzdifferenz, um die sich zwei Sinussignale unterscheiden müssen, damit sie vollständig andere Kanalübertragungseigenschaften vorfinden. Ist die Signalbandbreite B_S < B_K, so werden alle Spektralanteile durch den Kanal annähernd gleich verändert. Das heißt: Genau dann liegt nichtfrequenzselektives Fading vor.

In der Grafik links dargestellt ist die Verzögerungsleistungsdichte Φ_V(τ) mit T_V = 1 μs (rote Kurve) bzw. mit T_V = 2 μs (blaue Kurve). Die zugehörigen Kohärenzbandbreiten B_K = 276 kHz bzw. B_K = 138 kHz sind in der φ_F(Δf)–Darstellung eingezeichnet.

Die aus Φ_V(τ) berechenbare Mehrwegeverbreiterung T_V steht mit der durch φ_F(Δf) festgelegten Kohärenzbandbreite B_K in einem festen Verhältnis zueinander: B_K ≈ 0.276/T_V. Die oft benutzte Näherung B_K' = 1/T_V ist bei exponentiellem Φ_V(τ) sehr ungenau.

Kenngrößen des GWSSUS–Modells (2)

Betrachten wir nun die Kenngrößen der Zeitvarianz, die von der Zeitkorrelationsfunktion φ_Z(Δt) bzw. vom Doppler–Leistungsdichtespektrum Φ_D(f_D) abgeleitet werden:

• Die Korrelationsdauer T_D (englisch: Coherence Time) gibt die Zeit an, die im Mittel vergehen muss, bis der Kanal seine Übertragungseigenschaften aufgrund der Zeitvarianz völlig geändert hat. Die Definition ist vergleichbar mit der für die Kohärenzbandbreite:

\[|\varphi_{\rm Z}(\Delta t = T_{\rm D})| \stackrel {!}{=} {1}/{2} \cdot |\varphi_{\rm Z}(\Delta t = 0)| \hspace{0.05cm}.\]

• Die Dopplerverbreiterung B_D (oder „Fading–Bandbreite”, englisch: Doppler Spread) ist die mittlere Frequenzverbreiterung, die die einzelnen spektralen Signalanteile erfahren. Bei der Berechnung geht man ähnlich vor wie bei der Mehrwegeverbreiterung, indem man die Dopplerverbreiterung B_D als die Standardabweichung der Zufallsgröße f_D berechnet:

\[B_{\rm D} = \sigma_{\rm D} = \sqrt{{\rm E} \left [ f_{\rm D}^2 \right ] - m_{\rm D}^2} \hspace{0.05cm}.\]

Zunächst ist aus Φ_D(f_D) durch Flächennormierung auf 1 die Doppler–WDF zu ermitteln, und daraus die mittlere Dopplerverschiebung m_D = E[f_D] und die Standardabweichung σ_D.

Die Grafik gilt für einen zeitvarianten Kanal ohne Direktkomponente. Links dargestellt ist das Jakes–Spektrum Φ_D(f_D). Daraus kann die Dopplerverbreiterung ermittelt werden:

\[f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}50\,{\rm Hz}\hspace{-0.1cm}: \hspace{-0.1cm}\hspace{0.45cm} B_{\rm D} \approx 35\,{\rm Hz} \hspace{0.05cm},\] \[f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm}100\,{\rm Hz}\hspace{-0.1cm}: \hspace{-0.1cm}\hspace{0.2cm} B_{\rm D} \approx 70\,{\rm Hz} \hspace{0.05cm}.\]

Die rechte Skizze zeigt die Zeitkorrelationsfunktion φ_Z(Δt) als die Fourierrücktransformierte von Φ_D(f_D). Bei den hier gegebenen Randbedingungen lautet diese mit der Besselfunktion:

\[\varphi_{\rm Z}(\Delta t = T_{\rm D}) = {\rm J}_0(2 \pi \cdot f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} \cdot \Delta t ) \hspace{0.05cm}.\]

Die Korrelationsdauer der blauen Kurve ist T_D = 4.84 ms. Für f_{D, max} = 100 Hz (rote Kurven) ist die Korrelationsdauer nur halb so groß. Allgemein gilt im vorliegenden Fall: B_D · T_D ≈ 0.17.

Simulation gemäß dem GWSSUS–Modell

Das abschließend in aller Kürze dargelegte Monte–Carlo–Verfahren zur Simulation eines GWSSUS–Mobilfunkkanals basiert auf Arbeiten von Rice [Ric44] und Höher [Höh90].

• Die 2D–Impulsantwort wird durch eine Summe aus M komplexen Exponentialfunktionen dargestellt, wobei M als die Anzahl unterschiedlicher Pfade interpretiert werden kann:

\[h(\tau, t)= \frac{1}{\sqrt {M}} \cdot \sum_{m=1}^{M} \alpha_m \cdot \delta (t - \tau_m) \cdot {\rm exp}({\rm j} \hspace{0.05cm} \phi_{m}) \cdot {\rm exp}({\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f_{{\rm D},\hspace{0.05cm} m} t) \hspace{0.05cm}. \]

• Vor Beginn werden die Verzögerungen τ_m, die Dämpfungsfaktoren α_m, die gleichverteilten Phasen ϕ_m und die Dopplerfrequenzen f_D,m nach den GWSSUS–Vorgaben „ausgewürfelt”.
  

• Grundlage für das Auswürfeln der Dopplerfrequenzen f_D,m ist das Jakes–Spektrum Φ_D(f_D), das – geeignet normiert – gleichzeitig die WDF der Dopplerfrequenzen angibt.
  

• Wegen Φ_VD(τ, f_D) = Φ_V(τ) · Φ_D(f_D) ist für alle m die Verzögerungszeit τ_m unabhängig von der Dopplerfrequenz f_D,m. Für den terrestrischen Landmobilfunk gilt dies mit guter Näherung.
  

• Für das Auswürfeln der Parameter α_m und τ_m   ⇒   Φ_V(τ) stehen die COST–Profile RA (Rural Area), TU (Typical Urban), BU (Bad Urban) und HT (Hilly Terrain) zur Verfügung.
  

• Je größer bei der Simulation die Anzahl M unterschiedlicher Pfade gewählt wird, um so besser wird eine reale Impulsantwort durch obige Gleichung angenähert.
  

• Die höhere Simulationsgenauigkeit geht allerdings auf Kosten der Simulationsdauer. In der Literatur werden für M günstige Werte zwischen 100 und 600 angegeben.
  

Der Bildschirmabzug zeigt ein Simulationsergebnis. Als 2D–Plot ist 20 · lg |H(f, t)| dargestellt, wobei die zeitvariante Übertragungsfunktion H(f, t) in diesem Tutorial auch mit η_FZ(f, t) bezeichnet wurde.

Der Simulation liegen folgende Parameter zugrunde:

• Die maximale Verzögerungszeit beträgt τ_max ≈ 0.4 μs, woraus sich nach der Näherung für die Kohärenzbandbreite B_K' ≈ 2.5 MHz ergibt.
  

• Die Zeitvarianz entsteht durch eine Bewegung mit υ = 3 km/h. Die Trägerfrequenz ist 2 GHz.
  

• Die maximale Dopplerfrequenz ist f_D,max ≈ 5.5 Hz, die Dopplerverbreiterung B_D = 4 Hz.
  

Aufgaben

A2.5 Scatter-Funktion

Zusatzaufgaben:2.5 Mehrwege-Szenario

A2.6 Einheiten bei GWSSUS

A2.7 Kohärenzbandbreite

Zusatzaufgaben:2.7 BK für den LZI–Zweiwegekanal

A2.8 COST-Verzögerungsmodelle

A2.9 Korrelationsdauer